К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.

Задача: Построить касательную к окружности, проходящую через точку вне окружности.

Решение:

1. Дано: Окружность с центром O и точка A вне окружности.
2. Построение:
   1. Проводим отрезок OA.
   2. Находим середину отрезка OA и обозначаем ее как O₁.
   3. Строим окружность с центром O₁ и радиусом O₁A.
   4. Эта новая окружность пересекает исходную окружность в двух точках: B и B₁.
   5. Проводим прямые AB и AB₁.
3. Обоснование:
• Прямые AB и AB₁ являются искомыми касательными.
• Это следует из того, что углы ∠ABO и ∠AB₁O вписаны в окружность с центром O₁ и опираются на диаметр (поскольку O₁ — середина OA, а OA является диаметром окружности, проходящей через B и B₁).
• Угол, опирающийся на диаметр, является прямым, следовательно, ∠ABO = 90° и ∠AB₁O = 90°.
• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому AB ⊥ OB и AB₁ ⊥ OB₁.

Вывод: Задача имеет два решения, представленных прямыми AB и AB₁.

Рисунок: Как показано на Рис. 223.