К гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом 15° проведены медиана CM и высота CH. Найдите AB, если CH = 4.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, угол A равен \( 15^{\circ} \), значит, угол B равен \( 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике CHB, угол CHB равен \( 90^{\circ} \), угол CBH равен \( 75^{\circ} \), а угол BCH равен \( 15^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, медиана CM, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \( CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB \).

Рассмотрим треугольник CHM. Угол C = \( 90^{\circ} \) (высота), \( ∠ CBH = 75^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике CBM, \( CM = MB \), поэтому он равнобедренный. Угол MCB = угол MBC = \( 75^{\circ} \).

Угол MCH = Угол MCB - Угол HCB = \( 75^{\circ} - 15^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике CHM, угол CMH = \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике CHM, катет CH лежит против угла CMH, равного \( 30^{\circ} \). Следовательно, гипотенуза CM равна удвоенному катету CH:

\[ CM = 2 · CH = 2 · 4 = 8 \].

Так как \( CM = \frac{1}{2}AB \), то \( AB = 2 · CM = 2 · 8 = 16 \).

Ответ: 16.