278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом 15° проведены медиана СМ и высота СН. Найдите АВ, если CH = 4.

В прямоугольном треугольнике ABC с углом ∠BAC = 15° проведена медиана CM и высота CH к гипотенузе AB. Дано, что CH = 4. Нужно найти AB.

Так как CM - медиана, проведённая к гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, то CM = AM = MB = AB/2. Следовательно, треугольник CMB - равнобедренный, и ∠CBM = ∠BCM. Угол ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 15° = 75°.

Рассмотрим треугольник CHB. Он прямоугольный. Угол ∠HCB = 90° - ∠ABC = 90° - 75° = 15°.

Теперь рассмотрим треугольник CMB, в котором CM = MB, значит, углы при основании равны, то есть ∠BCM = ∠CBM = 75°.

Угол ∠HCM = ∠BCM - ∠HCB = 75° - 15° = 60°.

Рассмотрим треугольник MHC. Он прямоугольный, ∠MHC = 90°, CH = 4, ∠HCM = 60°. Тогда ∠CMH = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, MH = CM/2, или CM = 2MH.

Также, по определению косинуса в треугольнике CHM:

$$cos(60°) = \frac{CH}{CM}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{4}{CM}$$ $$CM = 8$$

Так как CM = AB/2, то AB = 2 * CM = 2 * 8 = 16.

Ответ: AB = 16.