К гипотенузе прямоугольного треугольника CDE проведены высота DF и медиана DK. Величина угла FDK между ними составляет 30°, а расстояние между их концами F и К равно 22 сантиметрам. Какова длина гипотенузы треугольника CDE?

Ответ: 88 см

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, DK = CK = EK.
2. Треугольник CDK равнобедренный, так как DK = CK. Значит, углы \(\angle DCK\) и \(\angle CDK\) равны.
3. Угол \(\angle DFK\) прямой (90 градусов), так как DF - высота.
4. Рассмотрим треугольник DFK. В нем известны угол \(\angle FDK = 30^\circ\) и сторона FK = 22 см. Используем тангенс угла \(\angle FDK\):

\[\tan(30^\circ) = \frac{FK}{DF}\] \[DF = \frac{FK}{\tan(30^\circ)} = \frac{22}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 22\sqrt{3}\]

5. Рассмотрим треугольник CDF. Он прямоугольный, и мы знаем DF. Пусть CF = x. Тогда CD^2 = CF^2 + DF^2.
6. Рассмотрим треугольник KDE: \(\angle KDE = \angle KDC = 30^\circ\), а \(\angle CDE = 90^\circ\). Тогда \(\angle EDC = 60^\circ\).
7. Тогда треугольник CDE прямоугольный с углом \(\angle DCE = 30^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
8. Значит, DE = 1/2 * CE, и CD = CE * \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
9. Пусть CE = y. Тогда CD = \(\frac{y\sqrt{3}}{2}\), DE = y/2, CK = y/2, CF = y/2 - 22.
10. Из треугольника CDF: CD^2 = DF^2 + CF^2. Подставим известные значения:

\[(\frac{y\sqrt{3}}{2})^2 = (22\sqrt{3})^2 + (\frac{y}{2} - 22)^2\] \[\frac{3y^2}{4} = 22^2 \cdot 3 + \frac{y^2}{4} - 2 \cdot \frac{y}{2} \cdot 22 + 22^2\] \[\frac{3y^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 22^2 \cdot 4 - 22y\] \[\frac{2y^2}{4} = 22^2 \cdot 4 - 22y\] \[\frac{y^2}{2} = 1936 - 22y\] \[y^2 = 3872 - 44y\] \[y^2 + 44y - 3872 = 0\]

11. Решим квадратное уравнение относительно y:

\[D = 44^2 - 4 \cdot (-3872) = 1936 + 15488 = 17424 = 132^2\] \[y_1 = \frac{-44 + 132}{2} = \frac{88}{2} = 44\] \[y_2 = \frac{-44 - 132}{2} = \frac{-176}{2} = -88\]

12. Так как длина не может быть отрицательной, то CE = 88 см.

Ответ: 88 см