К гипотенузе прямоугольного треугольника PQT проведены высота QR и медиана QS. Величина угла RQS между ними составляет 30°, а расстояние между их концами Rи S равно 17 сантиметрам. Какова длина гипотенузы треугольника PQT? PT =

Ответ: 68 см

Решение

• Рассмотрим треугольник \( \triangle RQS \). Он является равнобедренным, так как \( QR = QS \).
• \( \angle RQS = 30^\circ \), следовательно, \( \angle QRS = \angle QSR = \frac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ \).
• Так как \( QR \) — высота, то \( \angle PQR = 90^\circ \). Тогда \( \angle P = 90^\circ - \angle QRS = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \).
• Поскольку \( QS \) — медиана, проведенная к гипотенузе, то \( QS = PS \). Следовательно, \( \triangle PQS \) — равнобедренный, и \( \angle P = \angle PSQ = 15^\circ \).
• \( \angle PQS = 180^\circ - 2 \cdot 15^\circ = 150^\circ \).
• \( \angle SQT = 90^\circ - \angle PQS - \angle RQS = 90^\circ - 150^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
• В треугольнике \( \triangle SQT \) \( \angle T = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). Тогда \( QS = ST \).
• Так как \( QS \) — медиана, то \( PS = QS = ST \), следовательно, \( PT = PS + ST = QS + QS = 2QS \).
• \( \angle QRS = 75^\circ \), а \( \angle PQR = 90^\circ \), \( \angle RQS = 30^\circ \) по условию. Значит, \( \angle QSR = \angle QRS = (180^\circ - 30^\circ):2 = 75^\circ \).
• Рассмотрим треугольник \( \triangle RQS \). Он равнобедренный (так как \( QR = QS \)), и угол \( RQS = 30^\circ \).
• Расстояние между точками \( R \) и \( S \) равно 17 см, то есть \( RS = 17 \).
• Пусть \( x \) — сторона треугольника \( \triangle RQS \), тогда по теореме синусов:\ \[ \frac{RS}{\sin \angle RQS} = \frac{QS}{\sin \angle QRS} \] \[ \frac{17}{\sin 30^\circ} = \frac{QS}{\sin 75^\circ} \] \[ QS = \frac{17 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 30^\circ} \] \[ QS = \frac{17 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} \] \[ QS = \frac{17 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} \]
• Учитывая, что \( QS = \frac{PT}{2} \), находим длину гипотенузы:\ \[ PT = 2QS = 2 \cdot 17 = 34 \]

Ответ: 68 см