K-4 І вариант 1. Вычислите: a) log2 32+lne - lg 100; б) (log2(√5-1) + log2(√5 + 1)) log3 49 log3 7 2. Решите уравнение: a) (1/9)^x +8*(1/3)^x - 9 = 0; 6) log3 x + 4log9 x = 9. 3. Решите неравенство: a) 2x+3-3*2x+1+2^x < 12; 6) (log 0,5 x)² - 3log0,5 x - 4 ≤ 0. 4*. Докажите числовое равенство (√3)^log3(√5-2)^2 +(√2)^log2(√5-3)^2 = 1. 5*. Вычислите значение числового выражения 5^log 8 27* 3^log2 5 6*. Решите уравнение 2*(2/3)^x-1 - 4*(3/2)^x +1 = 0. 7*. Проехав за 1 ч три четверти расстояния между города- ми А и В, водитель увеличил скорость на 20 км/ч, по- этому остаток пути он проехал за 15 мин. Определите расстояние между городами А и В.

K-4 І вариант

1. Вычислите:

a) log₂ 32 + ln e - lg 100;

Разбираемся:

• log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32.
• ln e = 1, так как натуральный логарифм числа e равен 1.
• lg 100 = 2, потому что десятичный логарифм 100 равен 2.

Тогда выражение примет вид:

5 + 1 - 2 = 4

Ответ: 4

б) (log₂(√5 - 1) + log₂(√5 + 1)) log₃ 49 / log₃ 7

Разбираемся:

• Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство логарифмов logₐ x + logₐ y = logₐ(xy):

log₂(√5 - 1) + log₂(√5 + 1) = log₂((√5 - 1)(√5 + 1)) = log₂(5 - 1) = log₂ 4 = 2

• Теперь упростим выражение log₃ 49 / log₃ 7, используя свойство логарифмов logₐ b / logₐ c = logс b:

log₃ 49 / log₃ 7 = log₇ 49 = 2

Тогда выражение примет вид:

2 * 2 = 4

Ответ: 4

2. Решите уравнение:

а) (1/9)ˣ + 8 ⋅ (1/3)ˣ - 9 = 0

Разбираемся:

• Заметим, что (1/9)ˣ = ((1/3)²)ˣ = (1/3)²ˣ = ((1/3)ˣ)². Пусть (1/3)ˣ = t, тогда уравнение примет вид:

t² + 8t - 9 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t:

D = 8² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-9) = 64 + 36 = 100

t₁ = (-8 + √100) / 2 = (-8 + 10) / 2 = 1

t₂ = (-8 - √100) / 2 = (-8 - 10) / 2 = -9

Так как (1/3)ˣ > 0, то t = 1:

(1/3)ˣ = 1

x = 0

Ответ: 0

б) log₃ x + 4 log₉ x = 9

Разбираемся:

• Заметим, что log₉ x = log₃ x / log₃ 9 = log₃ x / 2. Тогда уравнение примет вид:

log₃ x + 4 ⋅ (log₃ x / 2) = 9

log₃ x + 2 log₃ x = 9

3 log₃ x = 9

log₃ x = 3

x = 3³ = 27

Ответ: 27

3. Решите неравенство:

а) 2ˣ⁺³ - 3 ⋅ 2ˣ⁺¹ + 2ˣ < 12

Разбираемся:

• Вынесем 2ˣ за скобки:

2ˣ(2³ - 3 ⋅ 2¹ + 1) < 12

2ˣ(8 - 6 + 1) < 12

2ˣ ⋅ 3 < 12

2ˣ < 4

2ˣ < 2²

x < 2

Ответ: x < 2

б) (log₀.₅ x)² - 3 log₀.₅ x - 4 ≤ 0

Разбираемся:

• Пусть log₀.₅ x = t, тогда неравенство примет вид:

t² - 3t - 4 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения t² - 3t - 4 = 0:

D = (-3)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 9 + 16 = 25

t₁ = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

t₂ = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1

Так как коэффициент при t² положительный, то парабола направлена вверх. Неравенство выполняется между корнями:

-1 ≤ t ≤ 4

-1 ≤ log₀.₅ x ≤ 4

(0.5)⁴ ≤ x ≤ (0.5)⁻¹

1/16 ≤ x ≤ 2

Ответ: 1/16 ≤ x ≤ 2

4*. Докажите числовое равенство: (√3)^(log₃(√5-2)²) + (√2)^(log₂(√5-3)²) = 1

Разбираемся:

Используем свойство a^(logₐ b) = b, тогда:

(√3)^(log₃(√5-2)²) = (√5 - 2)² = 5 - 4√5 + 4 = 9 - 4√5

(√2)^(log₂(√5-3)²) = (√5 - 3)² = 5 - 2√5 + 9 = 14 - 2√5

Тогда левая часть равна:

9 - 4√5 + 14 - 2√5 = 23 - 6√5 ≠ 1

Равенство неверно.

Ответ: Равенство не выполняется

5*. Вычислите значение числового выражения: 5^(log₈ 27) ⋅ 3^(log₂ 5)

Разбираемся:

• Представим 8 как 2³, а 27 как 3³. Тогда log₈ 27 = log₂(2³) (3³) = (3/3) log₂ 3 = log₂ 3.

Теперь выражение примет вид:

5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5)

Используем свойство a^(logₓ b) = b^(logₓ a):

5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5) = 3^(log₂ 5) ⋅ 3^(log₂ 5) = (3^(log₂ 5))²

log₂ 5 = log₂ 5

3^(log₂ 5) ⋅ 5^(log₂ 3) = 5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5)

5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5) = 5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5)

Ответ: 5^(log₂ 3) ⋅ 3^(log₂ 5)

6*. Решите уравнение: 2 ⋅ (2/3)^(x-1) - 4 ⋅ (3/2)ˣ + 1 = 0

Разбираемся:

• Заметим, что (2/3)^(x-1) = (2/3)ˣ ⋅ (2/3)⁻¹ = (2/3)ˣ ⋅ (3/2). Тогда уравнение примет вид:

2 ⋅ (2/3)ˣ ⋅ (3/2) - 4 ⋅ (3/2)ˣ + 1 = 0

3 ⋅ (2/3)ˣ - 4 ⋅ (3/2)ˣ + 1 = 0

• Пусть (2/3)ˣ = t, тогда (3/2)ˣ = 1/t. Уравнение примет вид:

3t - 4/t + 1 = 0

3t² + t - 4 = 0

D = 1² - 4 ⋅ 3 ⋅ (-4) = 1 + 48 = 49

t₁ = (-1 + √49) / 6 = (-1 + 7) / 6 = 1

t₂ = (-1 - √49) / 6 = (-1 - 7) / 6 = -4/3

Так как (2/3)ˣ > 0, то t = 1:

(2/3)ˣ = 1

x = 0

Ответ: 0

7*. Проехав за 1 ч три четверти расстояния между городами А и В, водитель увеличил скорость на 20 км/ч, поэтому остаток пути он проехал за 15 мин. Определите расстояние между городами А и В.

Разбираемся:

• Пусть S - расстояние между городами А и В, v - начальная скорость. Тогда:

(3/4)S = v ⋅ 1

(1/4)S = (v + 20) ⋅ (1/4)

Выразим S из первого уравнения:

S = (4/3)v

Подставим во второе уравнение:

(1/4) ⋅ (4/3)v = (v + 20) ⋅ (1/4)

(1/3)v = (1/4)v + 5

(1/12)v = 5

v = 60 км/ч

Тогда S = (4/3) ⋅ 60 = 80 км

Ответ: 80 км