K-4 II вариант 1. Дана арифметическая прогрессия -6; -3; ... а) Найдите ее четырнадцатый член. б) Найдите сумму ее первых семнадцати членов. 2. Арифметическая прогрессия (а) задана формулой п-го члена а = 9 + 2п. Найдите сумму ее первых двадцати пяти членов. 3. Является ли число 21,4 членом арифметической прогрессии, первый член которой равен 2,8, а шестой равен 4,3? Если да, то определите номер этого члена. 4. Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -27, а знаменатель равен а) Найдите ее шестой член. б) Найдите сумму ее первых пяти членов. 5. В геометрической прогрессии (ад) с положительными членами а₂ = 8, а₁ = 72. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 6. В геометрической прогрессии (ад) а10-27, 412-108. Найдите 211-

Задание 1

Дана арифметическая прогрессия: -6; -3; ...

а) Найти ее четырнадцатый член.

б) Найти сумму ее первых семнадцати членов.

Решение:

Разность арифметической прогрессии: \( d = a_2 - a_1 = -3 - (-6) = 3 \)

а) Четырнадцатый член прогрессии:

\[ a_{14} = a_1 + (14 - 1)d = -6 + 13 \cdot 3 = -6 + 39 = 33 \]

б) Сумма первых семнадцати членов:

\[ S_{17} = \frac{2a_1 + (17 - 1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2 \cdot (-6) + 16 \cdot 3}{2} \cdot 17 = \frac{-12 + 48}{2} \cdot 17 = \frac{36}{2} \cdot 17 = 18 \cdot 17 = 306 \]

Ответ: а) 33, б) 306

Задание 2

Арифметическая прогрессия \( {a_n} \) задана формулой n-го члена \( a_n = 9 + 2n \). Найти сумму ее первых двадцати пяти членов.

Решение:

Первый член прогрессии: \( a_1 = 9 + 2 \cdot 1 = 11 \)

Двадцать пятый член прогрессии: \( a_{25} = 9 + 2 \cdot 25 = 9 + 50 = 59 \)

Сумма первых двадцати пяти членов:

\[ S_{25} = \frac{a_1 + a_{25}}{2} \cdot 25 = \frac{11 + 59}{2} \cdot 25 = \frac{70}{2} \cdot 25 = 35 \cdot 25 = 875 \]

Ответ: 875

Задание 3

Является ли число 21,4 членом арифметической прогрессии, первый член которой равен 2,8, а шестой равен 4,3? Если да, то определите номер этого члена.

Решение:

Имеем \( a_1 = 2.8 \) и \( a_6 = 4.3 \). Найдем разность:

\[ a_6 = a_1 + 5d \Rightarrow 4.3 = 2.8 + 5d \Rightarrow 5d = 1.5 \Rightarrow d = 0.3 \]

Теперь найдем, является ли число 21,4 членом этой прогрессии, то есть существует ли такое n, что \( a_n = 21.4 \):

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 21.4 = 2.8 + (n-1)0.3 \Rightarrow 18.6 = (n-1)0.3 \Rightarrow n-1 = 62 \Rightarrow n = 63 \]

Так как n - целое число, то 21,4 является членом прогрессии.

Ответ: Да, является, номер 63

Задание 4

Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -27, а знаменатель равен \( \frac{1}{3} \).

а) Найдите ее шестой член.

б) Найдите сумму ее первых пяти членов.

Решение:

а) Шестой член прогрессии:

\[ b_6 = b_1 \cdot q^5 = -27 \cdot (\frac{1}{3})^5 = -27 \cdot \frac{1}{243} = -\frac{1}{9} \]

б) Сумма первых пяти членов:

\[ S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-27(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{-27(1 - \frac{1}{243})}{\frac{2}{3}} = \frac{-27 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = -27 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{242}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{121}{9} \]

Ответ: а) \( -\frac{1}{9} \), б) \( -\frac{121}{9} \)

Задание 5

В геометрической прогрессии \( {a_n} \) с положительными членами \( a_2 = 8 \), \( a_4 = 72 \). Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Решение:

Известно, что \( a_2 = 8 \) и \( a_4 = 72 \). Также известно, что \( a_4 = a_2 \cdot q^2 \), где q - знаменатель прогрессии.

\[ 72 = 8 \cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = 3 \]

Теперь найдем первый член: \( a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{8}{3} \)

Сумма первых пяти членов:

\[ S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{8}{3}(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{\frac{8}{3}(1 - 243)}{-2} = \frac{\frac{8}{3}(-242)}{-2} = \frac{8}{3} \cdot 121 = \frac{968}{3} \]

Ответ: \( \frac{968}{3} \)

Задание 6

В геометрической прогрессии \( {a_n} \) \( a_{10} = 27 \), \( a_{12} = 108 \). Найдите \( a_{11} \).

Решение:

Так как \( a_{11} \) является средним геометрическим между \( a_{10} \) и \( a_{12} \), то

\[ a_{11}^2 = a_{10} \cdot a_{12} \Rightarrow a_{11}^2 = 27 \cdot 108 = 2916 \Rightarrow a_{11} = \sqrt{2916} = 54 \]

Ответ: 54