K-4 ІІ вариант 1. Вычислите: a) log3 81-In e + lg 1000; б) 2*log7 16/(log3(√10 + 1) + log3(√10 - 1))*log7 2. 2. Решите уравнение: a) 4x-3*2x+2 = 0; б) log2 x + 6log4 x = 8. 3. Решите неравенство: a) 3x+2-2*3x+1+3* < 12; 6) (log 0,5 x)²+3log0,5 x - 4 ≤ 0. 4*. Докажите числовое равенство (√5)^log5(√2-1)^2 +(√3)^log3(√2-2)^2 = 1. 5*. Вычислите значение числового выражения 7^log27 8* 2^log3 7. 6*. Решите уравнение 5*(5/6)^x-1 - 9*(6/5)^x +3 = 0.

K-4 ІІ вариант

1. Вычислите:

a) log₃ 81 - ln e + lg 1000;

Разбираемся:

• log₃ 81 = 4, потому что 3⁴ = 81.
• ln e = 1, так как натуральный логарифм числа e равен 1.
• lg 1000 = 3, потому что десятичный логарифм 1000 равен 3.

Тогда выражение примет вид:

4 - 1 + 3 = 6

Ответ: 6

б) (2 ⋅ log₇ 16) / ((log₃(√10 + 1) + log₃(√10 - 1)) ⋅ log₇ 2)

Разбираемся:

• Сначала упростим выражение в скобках в знаменателе, используя свойство логарифмов logₐ x + logₐ y = logₐ(xy):

log₃(√10 + 1) + log₃(√10 - 1) = log₃((√10 + 1)(√10 - 1)) = log₃(10 - 1) = log₃ 9 = 2

• Теперь упростим выражение, используя свойство логарифмов logₐ bⁿ = n logₐ b:

2 ⋅ log₇ 16 = log₇ 16² = log₇ 256

log₇ 2

Тогда выражение примет вид:

(log₇ 256) / (2 ⋅ log₇ 2)

log₇ 256 = log₇ (2⁸) = 8 log₇ 2

(8 log₇ 2) / (2 log₇ 2) = 4

Ответ: 4

2. Решите уравнение:

а) 4ˣ - 3 ⋅ 2ˣ + 2 = 0

Разбираемся:

• Заметим, что 4ˣ = (2²)ˣ = (2ˣ)². Пусть 2ˣ = t, тогда уравнение примет вид:

t² - 3t + 2 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t:

D = (-3)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 - 8 = 1

t₁ = (3 + √1) / 2 = (3 + 1) / 2 = 2

t₂ = (3 - √1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 1

Тогда:

2ˣ = 2

x₁ = 1

2ˣ = 1

x₂ = 0

Ответ: x = 0, 1

б) log₂ x + 6 log₄ x = 8

Разбираемся:

• Заметим, что log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2. Тогда уравнение примет вид:

log₂ x + 6 ⋅ (log₂ x / 2) = 8

log₂ x + 3 log₂ x = 8

4 log₂ x = 8

log₂ x = 2

x = 2² = 4

Ответ: 4

3. Решите неравенство:

а) 3ˣ⁺² - 2 ⋅ 3ˣ⁺¹ + 3ˣ < 12

Разбираемся:

• Вынесем 3ˣ за скобки:

3ˣ(3² - 2 ⋅ 3¹ + 1) < 12

3ˣ(9 - 6 + 1) < 12

3ˣ ⋅ 4 < 12

3ˣ < 3

3ˣ < 3¹

x < 1

Ответ: x < 1

б) (log₀.₅ x)² + 3 log₀.₅ x - 4 ≤ 0

Разбираемся:

• Пусть log₀.₅ x = t, тогда неравенство примет вид:

t² + 3t - 4 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения t² + 3t - 4 = 0:

D = 3² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-4) = 9 + 16 = 25

t₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 1

t₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -4

Так как коэффициент при t² положительный, то парабола направлена вверх. Неравенство выполняется между корнями:

-4 ≤ t ≤ 1

-4 ≤ log₀.₅ x ≤ 1

(0.5)¹ ≤ x ≤ (0.5)⁻⁴

1/2 ≤ x ≤ 16

Ответ: 1/2 ≤ x ≤ 16

4*. Докажите числовое равенство: (√5)^(log₅(√2-1)²) + (√3)^(log₃(√2-2)²) = 1

Разбираемся:

Используем свойство a^(logₐ b) = b, тогда:

(√5)^(log₅(√2-1)²) = (√2 - 1)² = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2

(√3)^(log₃(√2-2)²) = (√2 - 2)² = 2 - 4√2 + 4 = 6 - 4√2

Тогда левая часть равна:

3 - 2√2 + 6 - 4√2 = 9 - 6√2 ≠ 1

Равенство неверно.

Ответ: Равенство не выполняется

5*. Вычислите значение числового выражения: 7^(log₂₇ 8) ⋅ 2^(log₃ 7)

Разбираемся:

• Представим 27 как 3³, а 8 как 2³. Тогда log₂₇ 8 = log₃(3³) (2³) = (3/3) log₃ 2 = log₃ 2.

Теперь выражение примет вид:

7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7)

Используем свойство a^(logₓ b) = b^(logₓ a):

7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7) = 2^(log₃ 7) ⋅ 2^(log₃ 7) = (2^(log₃ 7))²

log₃ 7 = log₃ 7

2^(log₃ 7) ⋅ 7^(log₃ 2) = 7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7)

7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7) = 7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7)

Ответ: 7^(log₃ 2) ⋅ 2^(log₃ 7)

6*. Решите уравнение: 5 ⋅ (5/6)^(x-1) - 9 ⋅ (6/5)ˣ + 3 = 0

Разбираемся:

• Заметим, что (5/6)^(x-1) = (5/6)ˣ ⋅ (5/6)⁻¹ = (5/6)ˣ ⋅ (6/5). Тогда уравнение примет вид:

5 ⋅ (5/6)ˣ ⋅ (6/5) - 9 ⋅ (6/5)ˣ + 3 = 0

6 ⋅ (5/6)ˣ - 9 ⋅ (6/5)ˣ + 3 = 0

• Пусть (5/6)ˣ = t, тогда (6/5)ˣ = 1/t. Уравнение примет вид:

6t - 9/t + 3 = 0

6t² + 3t - 9 = 0

2t² + t - 3 = 0

D = 1² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 1 + 24 = 25

t₁ = (-1 + √25) / 4 = (-1 + 5) / 4 = 1

t₂ = (-1 - √25) / 4 = (-1 - 5) / 4 = -3/2

Так как (5/6)ˣ > 0, то t = 1:

(5/6)ˣ = 1

x = 0

Ответ: 0