K-4 III вариант 1. Дана арифметическая прогрессия -3,5; -3,2; ... а) Найдите ее шестнадцатый член. б) Найдите сумму ее первых одиннадцати членов. 2. Арифметическая прогрессия {aₙ} задана формулой n-го члена aₙ = 7 - 3n. Найдите сумму ее первых двадцати членов. 3. Является ли число 122,2 членом арифметической прог- рессии, первый член которой равен -3,2, а пятый ра- вен 4,4? Если да, то определите номер этого члена. 4. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 133. 5* Найдите сумму третьего и семнадцатого членов арифме- тической прогрессии, если ее десятый член равен 26. 6*. Сколько первых членов арифметической прогрессии -6,5; -6; ... нужно сложить, чтобы получить в сумме -42,5? 7*. Две трубы при совместной работе наполнили бассейн за 24 мин. В другой раз первая труба наполняла бассейн 21 мин, а вторая труба — 28 мин, и они наполнили весь бассейн. За сколько минут можно наполнить бассейн че- рез каждую трубу в отдельности?

K-4 III вариант

Разбираемся с арифметической прогрессией! Поехали!

1. Дана арифметическая прогрессия -3,5; -3,2; ...

Смотри, тут всё просто: используем формулы арифметической прогрессии.

Сначала найдём разность прогрессии: d = a₂ - a₁ = -3,2 - (-3,5) = 0,3

а) Найдите её шестнадцатый член.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n - 1)d

a₁₆ = -3,5 + (16 - 1) * 0,3 = -3,5 + 15 * 0,3 = -3,5 + 4,5 = 1

Ответ: a₁₆ = 1

б) Найдите сумму её первых одиннадцати членов.

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) * n / 2

S₁₁ = (2 * (-3,5) + (11 - 1) * 0,3) * 11 / 2 = (-7 + 10 * 0,3) * 11 / 2 = (-7 + 3) * 11 / 2 = -4 * 11 / 2 = -22

Ответ: S₁₁ = -22

2. Арифметическая прогрессия {aₙ} задана формулой n-го члена aₙ = 7 - 3n. Найдите сумму её первых двадцати членов.

Логика такая: используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии через первый и n-й члены: Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2

Сначала найдём a₁ и a₂₀:

a₁ = 7 - 3 * 1 = 4

a₂₀ = 7 - 3 * 20 = 7 - 60 = -53

Теперь найдём S₂₀:

S₂₀ = (4 + (-53)) * 20 / 2 = -49 * 10 = -490

Ответ: S₂₀ = -490

3. Является ли число 122,2 членом арифметической прогрессии, первый член которой равен -3,2, а пятый равен 4,4? Если да, то определите номер этого члена.

Разберёмся: если число является членом прогрессии, то найдётся такое натуральное n, что aₙ = 122,2

Сначала найдём разность прогрессии, используя формулу aₙ = a₁ + (n - 1)d для n = 5:

4,4 = -3,2 + (5 - 1)d

4,4 = -3,2 + 4d

4d = 7,6

d = 1,9

Теперь найдём n, при котором aₙ = 122,2:

122,2 = -3,2 + (n - 1) * 1,9

125,4 = (n - 1) * 1,9

n - 1 = 125,4 / 1,9 = 66

n = 67

Так как n - натуральное число, то 122,2 является членом прогрессии, и его номер 67.

Ответ: Да, является, номер 67.

4. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 133.

Смотри, как это работает: это сумма арифметической прогрессии, где a₁ = 7, d = 7, а последний член aₙ = 133

Сначала найдём количество членов прогрессии:

aₙ = a₁ + (n - 1)d

133 = 7 + (n - 1) * 7

126 = (n - 1) * 7

n - 1 = 18

n = 19

Теперь найдём сумму:

Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2

S₁₉ = (7 + 133) * 19 / 2 = 140 * 19 / 2 = 70 * 19 = 1330

Ответ: 1330

5*. Найдите сумму третьего и семнадцатого членов арифметической прогрессии, если её десятый член равен 26.

Разбираемся: a₁₀ = 26. Нам нужно найти a₃ + a₁₇

Заметим, что a₃ + a₁₇ = a₁ + 2d + a₁ + 16d = 2a₁ + 18d = 2 * (a₁ + 9d) = 2 * a₁₀

Тогда a₃ + a₁₇ = 2 * 26 = 52

Ответ: 52

6*. Сколько первых членов арифметической прогрессии -6,5; -6; ... нужно сложить, чтобы получить в сумме -42,5?

Логика такая:

a₁ = -6,5

d = -6 - (-6,5) = 0,5

Sₙ = -42,5

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) * n / 2

-42,5 = (2 * (-6,5) + (n - 1) * 0,5) * n / 2

-85 = (-13 + 0,5n - 0,5) * n

-85 = -13,5n + 0,5n²

0,5n² - 13,5n + 85 = 0

n² - 27n + 170 = 0

D = 27² - 4 * 170 = 729 - 680 = 49

n₁ = (27 + 7) / 2 = 17

n₂ = (27 - 7) / 2 = 10

Оба значения подходят, так как сумма членов с 11-го по 17-й равна нулю.

Ответ: 10 или 17

7*. Две трубы при совместной работе наполнили бассейн за 24 мин. В другой раз первая труба наполняла бассейн 21 мин, а вторая труба — 28 мин, и они наполнили весь бассейн. За сколько минут можно наполнить бассейн через каждую трубу в отдельности?

Смотри, тут всё просто: пусть x - время, за которое первая труба наполнит бассейн, y - время, за которое вторая труба наполнит бассейн.

Тогда 1/x - часть бассейна, которую первая труба наполняет за 1 минуту, 1/y - часть бассейна, которую вторая труба наполняет за 1 минуту.

Вместе они наполняют бассейн за 24 минуты, значит:

1/x + 1/y = 1/24

Во втором случае, первая труба наполняла бассейн 21 минуту, а вторая 28 минут, значит:

21/x + 28/y = 1

Решим систему уравнений:

1/x + 1/y = 1/24

21/x + 28/y = 1

Умножим первое уравнение на 21:

21/x + 21/y = 21/24 = 7/8

Вычтем из второго уравнения первое:

28/y - 21/y = 1 - 7/8

7/y = 1/8

y = 56

Подставим y в первое уравнение:

1/x + 1/56 = 1/24

1/x = 1/24 - 1/56 = (7 - 3) / 168 = 4 / 168 = 1 / 42

x = 42

Ответ: Первая труба наполнит бассейн за 42 минуты, вторая - за 56 минут.