Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
K-4 IV вариант 1. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если: a) F(x)=2x²-6x²- ctg x +7 и f(x)=6x²-12x+ χ≠πη, η ΕΖ; 6) F(x) = 5x6-ln 7x и f(x) = 30x5 – 1 f(x) = 30x5, x>0. x 2.. Найдите первообразную для функции: a) f(x)=-3cosx, x≠0; 6) f(x)= f(x)=, x>0. x 1 sin² x x 3. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x)=-3x²+ 1 +2, график которой проходит через точку A(1; 4). x² 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0,5, x=и х= 5*. Найдите: 5π 6 a) SV6-5xdx; 6) SV1-9x2 π 6 dx 6*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x²+x+5 и y=x²-2x+1. 1 2 3 7*. Вычислите ||x-1|-2|dx. 0
Ответ:
Ответ: Решения ниже
Краткое пояснение: Решаем задачи на нахождение первообразной функции и вычисление площади фигуры.
1. Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), если:
а) F(x) = 2x³ - 6x² - ctg(x) + 7 и f(x) = 6x² - 12x + 1/sin²(x), x ≠ πn, n ∈ Z; Чтобы доказать, что F(x) является первообразной для f(x), нужно показать, что F'(x) = f(x).Показать решение
- F'(x) = (2x³ - 6x² - ctg(x) + 7)' = 6x² - 12x + 1/sin²(x)
- Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).
Показать решение
- F'(x) = (5x⁶ - ln(7x))' = 30x⁵ - 1/x
- Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).
2. Найдите первообразную для функции:
а) f(x) = 4/x⁵ - 3cos(x), x ≠ 0;Показать решение
- F(x) = ∫ (4/x⁵ - 3cos(x)) dx = ∫ 4x⁻⁵ dx - ∫ 3cos(x) dx = 4 ∫ x⁻⁵ dx - 3 ∫ cos(x) dx
- = 4 * (x⁻⁴ / (-4)) - 3sin(x) + C = -x⁻⁴ - 3sin(x) + C = -1/x⁴ - 3sin(x) + C
Показать решение
- F(x) = ∫ (5/x) dx = 5 ∫ (1/x) dx = 5ln|x| + C
- Так как x > 0, то F(x) = 5ln(x) + C
3. Найдите ту первообразную F(x) для функции f(x) = -3x² + 1/x², график которой проходит через точку A(1; 4).
Показать решение
- F(x) = ∫ (-3x² + 1/x²) dx = ∫ -3x² dx + ∫ x⁻² dx = -3 ∫ x² dx + ∫ x⁻² dx
- = -3 * (x³/3) + (x⁻¹ / (-1)) + C = -x³ - 1/x + C
- Используем точку A(1; 4): 4 = -(1)³ - 1/(1) + C = -1 - 1 + C = -2 + C
- C = 4 + 2 = 6
- F(x) = -x³ - 1/x + 6
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = 0.5, x = π/6 и x = 5π/6.
Показать решение
- Площадь = ∫[π/6, 5π/6] (sin(x) - 0.5) dx = [-cos(x) - 0.5x][π/6, 5π/6]
- = (-cos(5π/6) - 0.5 * 5π/6) - (-cos(π/6) - 0.5 * π/6)
- = (-(-√3/2) - 5π/12) - (-√3/2 - π/12) = √3/2 - 5π/12 + √3/2 + π/12
- = √3 - 4π/12 = √3 - π/3
5*. Найдите:
а) ∫ √(6 - 5x) dx;Показать решение
- Пусть u = 6 - 5x, du = -5 dx, dx = -1/5 du
- ∫ √u * (-1/5) du = -1/5 ∫ u^(1/2) du = -1/5 * (u^(3/2) / (3/2)) + C
- = -1/5 * (2/3) * u^(3/2) + C = -2/15 * (6 - 5x)^(3/2) + C
Показать решение
- ∫ dx / √(1 - (3x)²)
- Пусть u = 3x, du = 3 dx, dx = 1/3 du
- ∫ (1/3) du / √(1 - u²) = 1/3 ∫ du / √(1 - u²) = 1/3 * arcsin(u) + C
- = 1/3 * arcsin(3x) + C
6*. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -1/2 x² + x + 5.5 и y = x² - 2x + 1.
Показать решение
- Найдем точки пересечения: -1/2 x² + x + 5.5 = x² - 2x + 1
- 0 = 1.5x² - 3x - 4.5
- 0 = x² - 2x - 3
- x1 = -1, x2 = 3
- Площадь = ∫[-1, 3] ((-1/2 x² + x + 5.5) - (x² - 2x + 1)) dx = ∫[-1, 3] (-1.5x² + 3x + 4.5) dx
- = [-0.5x³ + 1.5x² + 4.5x][-1, 3] = (-0.5 * 3³ + 1.5 * 3² + 4.5 * 3) - (-0.5 * (-1)³ + 1.5 * (-1)² + 4.5 * (-1))
- = (-13.5 + 13.5 + 13.5) - (0.5 + 1.5 - 4.5) = 13.5 - (-2.5) = 16
7*. Вычислите ∫[0, 3] ||x - 1| - 2| dx.
Показать решение
- Разбиваем интеграл на участки, где |x - 1| - 2 меняет знак:
- |x - 1| - 2 = 0 => |x - 1| = 2 => x - 1 = 2 или x - 1 = -2 => x = 3 или x = -1
- ∫[0, 3] ||x - 1| - 2| dx = ∫[0, 3] |x - 1 - 2| dx = ∫[0, 3] |x - 3| dx
- = ∫[0, 3] (3 - x) dx = [3x - x²/2][0, 3] = (3 * 3 - 3²/2) - (0) = 9 - 4.5 = 4.5
Ответ: Решения выше
Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50
Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс
Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке
