К каждому заданию приведите развёрнутое решение (обоснованный ответ). Рисунок к задаче обязателен. 1. (1 балл) В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны. На стороне АС взята точка М, равноудалённая от прямых АВ и ВС. Найдите угол АСВ, если ∠ABM = 35°. 2. (1 балл) Серединный перпендикуляр к стороне NK треугольника МПК пересекает сторону МК в точке Р. Найдите МК, если NP = 12 см, МР = 9 см.

Решение:

1. Задача про треугольник ABC:

Дано:

• Треугольник ABC.


• AC = BC (треугольник равнобедренный).


• Точка M на стороне AC.


• M равноудалена от прямых AB и BC.


• \( \angle ABM = 35^{\circ} \).

Найти: \( \angle ACB \).

Решение:

Так как точка M равноудалена от прямых AB и BC, то луч BM является биссектрисой угла ABC.

Следовательно, \( \angle ABM = \angle CBM = 35^{\circ} \).

Тогда \( \angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 35^{\circ} + 35^{\circ} = 70^{\circ} \).

В треугольнике ABC AC = BC, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle BAC = \angle ABC = 70^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle ACB \):

\( \angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) \)

\( \angle ACB = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ACB = 40^{\circ} \).

2. Задача про серединный перпендикуляр:

Дано:

• Треугольник MNK.


• P — точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне NK со стороной MK.


• NP = 12 см.


• MP = 9 см.

Найти: MK.

Решение:

Серединный перпендикуляр к отрезку NK проходит через середину отрезка NK и перпендикулярен ему. Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

Так как P лежит на серединном перпендикуляре к NK, то NP = PK.

По условию NP = 12 см, следовательно, PK = 12 см.

Сторона MK состоит из отрезков MP и PK.

MK = MP + PK

MK = 9 см + 12 см = 21 см.

Ответ: MK = 21 см.