К краям невесомого рычага, размеченного на отрезки одинаковой длины, на лёгких нитях подвешены грузы. Система находится в равновесии. Определи массы грузов $$m_1$$ и $$m_2$$, если их сумма равна $$m = 6$$ кг.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом равновесия рычага, которое гласит, что для равновесия рычага необходимо, чтобы сумма моментов сил, вращающих рычаг по часовой стрелке, равнялась сумме моментов сил, вращающих рычаг против часовой стрелки. Момент силы равен произведению силы на плечо. Плечо – это расстояние от точки опоры до линии действия силы.

Пусть $$m_1$$ – масса груза слева, $$m_2$$ – масса груза справа, а $$g$$ – ускорение свободного падения. Тогда силы, действующие на рычаг, это $$m_1g$$ и $$m_2g$$.

На рисунке видно, что плечо силы $$m_1g$$ равно 3 единицам длины, а плечо силы $$m_2g$$ равно 4 единицам длины. Обозначим единицу длины за $$l$$.

Тогда правило равновесия рычага можно записать так:

$$m_1g cdot 3l = m_2g cdot 4l$$

Сократим обе части уравнения на $$gl$$:

$$3m_1 = 4m_2$$

Также нам известно, что сумма масс равна 6 кг:

$$m_1 + m_2 = 6$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases}
3m_1 = 4m_2 \\
m_1 + m_2 = 6
\end{cases}$$

Выразим $$m_1$$ из второго уравнения:

$$m_1 = 6 - m_2$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$3(6 - m_2) = 4m_2$$
$$18 - 3m_2 = 4m_2$$
$$7m_2 = 18$$
$$m_2 = \frac{18}{7} \approx 2.57 \text{ кг}$$

Теперь найдем $$m_1$$:

$$m_1 = 6 - m_2 = 6 - \frac{18}{7} = \frac{42 - 18}{7} = \frac{24}{7} \approx 3.43 \text{ кг}$$

Округлим до десятых долей:

$$m_1 \approx 3.4 \text{ кг}$$
$$m_2 \approx 2.6 \text{ кг}$$

Ответ: $$m_1 = 3.4$$ кг, $$m_2 = 2.6$$ кг