К краям рычага длиной L = 56 см на лёгких и нерастяжимых нитях подвешены грузы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 6 кг. Определи длины плеч рычага l₁ и l₂, если система находится в равновесии.

Дано:

• Длина рычага L = 56 см
• Масса m₁ = 2 кг
• Масса m₂ = 6 кг
• Система в равновесии

Найти:

• Длина плеча l₁ — ?
• Длина плеча l₂ — ?

Решение:

Условие равновесия рычага записывается как равенство моментов сил:

\[ m_1 · g · l_1 = m_2 · g · l_2 \]

где $$g$$ — ускорение свободного падения. Учитывая, что $$g$$ одинаково для обеих масс, мы можем его сократить:

\[ m_1 · l_1 = m_2 · l_2 \]

Также известно, что сумма длин плеч рычага равна его общей длине:

\[ l_1 + l_2 = L \]

\[ l_1 + l_2 = 56 \text{ см} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. \[ 2 · l_1 = 6 · l_2 \]
2. \[ l_1 + l_2 = 56 \]

Из первого уравнения выразим $$l_1$$ через $$l_2$$:

\[ l_1 = \frac{6 · l_2}{2} \]

\[ l_1 = 3 · l_2 \]

Подставим это выражение для $$l_1$$ во второе уравнение:

\[ (3 · l_2) + l_2 = 56 \]

\[ 4 · l_2 = 56 \]

Найдем $$l_2$$:

\[ l_2 = \frac{56}{4} \]

\[ l_2 = 14 \text{ см} \]

Теперь найдем $$l_1$$, подставив значение $$l_2$$ в уравнение $$l_1 = 3 · l_2$$:

\[ l_1 = 3 · 14 \]

\[ l_1 = 42 \text{ см} \]

Проверка: $$l_1 + l_2 = 42 + 14 = 56$$ см. Условие выполняется.

Ответ: $$l_1 = 42$$ см, $$l_2 = 14$$ см