18) К окружности с центром О и радиусом 21 проведена касательная К, параллельно хорде СВ так, как показано на рисунке. Диаметр окружности параллелен хорде CD. Прямая касается окружности в точке А и пересекает прямую ВС в точке К. Найдите АК, если ∠EDC = 30°.

Пошаговое решение:

1. \(\angle EDC = 30^\circ\), а так как CD - диаметр окружности, то \(\angle EOC = 2 \cdot \angle EDC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\) (центральный угол в два раза больше вписанного).
2. Так как CD параллельна AK, то \(\angle CAK = \angle EDC = 30^\circ\) (как соответственные углы при параллельных прямых CD и AK и секущей CE).
3. Так как BC параллельна AK, то \(\angle CKA = \angle CAK = 30^\circ\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AK и секущей AC).
4. Рассмотрим треугольник AOK. Он прямоугольный, так как касательная AK перпендикулярна радиусу OA. Тогда \(\angle AOK = 90^\circ - \angle AKO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
5. Рассмотрим треугольник OAC. Он равнобедренный, так как OA = OC (радиусы окружности). Так как \(\angle EOC = 60^\circ\), то \(\angle AOC = 180^\circ - \angle EOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
6. \(\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).
7. Теперь в треугольнике OAK: \(\angle OAK = 90^\circ\), \(\angle AKO = 30^\circ\), OA = 21 (радиус).
8. Используем определение тангенса для угла \(\angle AKO\):\[\tan(\angle AKO) = \frac{OA}{AK} \Rightarrow AK = \frac{OA}{\tan(\angle AKO)} = \frac{21}{\tan(30^\circ)}\]
9. \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\, тогда: \(AK = \frac{21}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 21\sqrt{3}\)

Ответ: \(21\sqrt{3}\)