6*. К окружности с центром О проведена касательная АВ (В — точка касания). Найдите радиус окружности, если OA = 6√5, tgOAB = 1/2.

Рассмотрим треугольник OAB, где OB - радиус окружности, AB - касательная, OA - расстояние от точки A до центра окружности. Угол OBA прямой, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Известно, что tg OAB = \(\frac{1}{2}\) и OA = 6\(\sqrt{5}\). Так как tg OAB = \(\frac{OB}{AB}\), то AB = 2OB. Применим теорему Пифагора к треугольнику OAB: \(OA^2 = OB^2 + AB^2\). Заменим AB: \((6\sqrt{5})^2 = OB^2 + (2OB)^2\). 180 = OB^2 + 4OB^2. 180 = 5OB^2. OB^2 = 36. OB = 6 (так как радиус не может быть отрицательным).