К окружности с центром О проведена касательная CD (D- точка касания). Найдите отрезок, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO=30°. На рис. прямые АС и АВ касаются окружности с центром О в точках С и В соответственно. Найдите ∠СОА, если ∠ВАС = 72°.

Решение:

1. Рассмотрим окружность с центром O и касательной CD.

Так как CD — касательная, то радиус OD перпендикулярен касательной CD в точке касания D.

Таким образом, треугольник DCO — прямоугольный с углом ∠CDO = 90°.

Дано, что ∠DCO = 30° и OD = 6 см (радиус окружности).

В прямоугольном треугольнике DCO катет OD, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы CO.

Следовательно, CO = 2 * OD = 2 * 6 = 12 см.

2. Рассмотрим рисунок, где прямые AC и AB касаются окружности с центром O в точках C и B соответственно.

Угол ∠BAC = 72°.

Так как AC и AB — касательные к окружности, то радиусы OC и OB перпендикулярны касательным в точках касания C и B соответственно.

То есть, ∠OCA = 90° и ∠OBA = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ACBO.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠BAC + ∠OCA + ∠OBA + ∠COB = 360°

72° + 90° + 90° + ∠COB = 360°

∠COB = 360° - 72° - 90° - 90° = 108°

Угол ∠COA является смежным с углом ∠COB. Сумма смежных углов равна 180°.

∠COA + ∠COB = 180°

∠COA = 180° - ∠COB = 180° - 108° = 72°

Ответ: CO = 12 см, ∠COA = 72°