К окружности с центром O проведена касательная MN (M - точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и \(\angle NOM = 30^\circ\).

Так как MN - касательная, то OM перпендикулярна MN (свойство касательной). Следовательно, треугольник OMN - прямоугольный с прямым углом M. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN. Известно, что \(\angle NOM = 30^\circ\) и ON = 12 см (гипотенуза). Найдём OM как катет, лежащий против угла 30°: OM = \(\frac{1}{2}\) * ON = \(\frac{1}{2}\) * 12 = 6 см. По теореме Пифагора: (MN^2 = ON^2 - OM^2). Подставим значения: (MN^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108). Тогда (MN = \sqrt{108} = \sqrt{36 * 3} = 6\sqrt{3}) см. Ответ: (MN = 6\sqrt{3}) см