К окружности с центром О проведена касательная MN (M - точка касания). Найдите отношение \( \frac{MN}{ON} \), если ON = 12 см и \( \angle NOM = 30^{\circ} \).

Решение:

1. Анализ условия:

• \( ON \) — радиус окружности, \( MN \) — касательная.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, \( \angle OMN = 90^{\circ} \).
• \( \triangle OMN \) — прямоугольный треугольник.

2. Применение тригонометрии:

В прямоугольном \( \triangle OMN \) мы знаем угол \( \angle NOM = 30^{\circ} \) и прилежащий катет \( OM = 12 \) см (радиус).

Нам нужно найти отношение \( \frac{MN}{ON} \). Сначала найдем \( ON \) (гипотенузу) и \( MN \) (катет).

Находим \( ON \) (гипотенузу):

Используем косинус угла \( \angle NOM \):

\[ \cos(\angle NOM) = \frac{OM}{ON} \]\[ \cos(30^{\circ}) = \frac{12}{ON} \]\[ ON = \frac{12}{\cos(30^{\circ})} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \]

Находим \( MN \) (катет):

Используем тангенс угла \( \angle NOM \):

\[ \tan(\angle NOM) = \frac{MN}{OM} \]\[ \tan(30^{\circ}) = \frac{MN}{12} \]\[ MN = 12 \cdot \tan(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

3. Вычисление отношения:

\[ \frac{MN}{ON} = \frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \frac{MN}{ON} = \frac{1}{2} \).