К окружности с центром O провели касательную C; (D — точка касания). Найдите радиус окружности, если CO = 16 см и ∠COD = 60°. В окружности с центром O провели диаметры MN и PQ (рис. 281). Докажите, что MK || PN.

Решение задачи 1:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, ∠OCD = 90°.

2. В условии сказано, что CO = 16 см. Так как CO — это радиус окружности, то радиус равен 16 см.

3. В условии указано ∠COD = 60°. Эта информация является избыточной для нахождения радиуса.

Ответ: Радиус окружности равен 16 см.

Решение задачи 2:

Доказательство:

1. Рассмотрим окружность с центром O. Диаметры MN и PQ проходят через центр O.
2. Рассмотрим треугольники ΔMOK и ΔPON.
   1. MO = OK = PO = ON (как радиусы окружности).
   2. ∠MOK = ∠PON (как вертикальные углы).
3. Следовательно, ΔMOK = ΔPON по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников следует, что ∠OMK = ∠OPN. Эти углы являются накрест лежащими при прямых MK и PN и секущей MN.
5. Так как накрест лежащие углы равны, то MK || PN.

Что и требовалось доказать.