К окружности с центром в точке О проведены касательная MN и секущая МО (см. рис.). Найдите радиус окружности, если МО = 35, MN = 21.

Задача 7. Геометрия

Дано:

• Окружность с центром в точке O.
• Касательная MN.
• Секущая МО.
• Длина МО = 35.
• Длина MN = 21.

Найти: радиус окружности.

Решение:

В данном случае у нас есть касательная MN и секущая МО, проведенные из точки M к окружности с центром O. Точка N является точкой касания.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. То есть, ON перпендикулярен MN. Это означает, что треугольник MNO является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке N.

В прямоугольном треугольнике MNO:

• Гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла, то есть МО.
• Катеты — это стороны, образующие прямой угол, то есть MN и ON.

Мы знаем длины гипотенузы (МО = 35) и одного катета (MN = 21). Нам нужно найти длину второго катета, ON, который является радиусом окружности (обозначим его как r).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MNO:

\[ MN^2 + ON^2 = MO^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 21^2 + r^2 = 35^2 \]

\[ 441 + r^2 = 1225 \]

Теперь найдем r²:

\[ r^2 = 1225 - 441 \]

\[ r^2 = 784 \]

Найдем радиус r, извлекая квадратный корень:

\[ r = \sqrt{784} \]

Чтобы найти корень из 784, можно попробовать разложить число на множители или вспомнить квадраты чисел. Например, \( 20^2 = 400 \), \( 30^2 = 900 \). Число 784 оканчивается на 4, значит, его корень может оканчиваться на 2 или 8. Проверим \( 28^2 \):

\[ 28 \times 28 = (30 - 2) \times (30 - 2) = 900 - 60 - 60 + 4 = 900 - 120 + 4 = 784 \]

Таким образом, \( r = 28 \).

Радиус окружности равен 28.

Ответ: 28.