К плоскости прямоугольного равнобедренного треугольника ABC (∠C = 90°) проведён перпендикуляр MB, равный a; AC = a. Найдите угол между: 1) прямой MA и плоскостью ΔABC; 2) прямой MC и плоскостью ΔAMB.

Так как треугольник ABC прямоугольный равнобедренный и AC = a, то BC = a, а AB = a√2.

1) Угол между MA и плоскостью ABC. Проекция точки M на плоскость ABC — точка B, поэтому проекция MA на плоскость — AB. Искомый угол равен ∠MAB. В прямоугольном треугольнике MAB:

\(\tan \angle MAB = \frac{MB}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Значит, угол равен \(\arctan\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35.3^\circ\).

2) Угол между MC и плоскостью AMB. Введём координаты: \(C(0,0,0)\), \(A(a,0,0)\), \(B(0,a,0)\), \(M(0,a,a)\). Плоскость AMB имеет уравнение \(x+y=a\), её нормаль направлена как вектор \((1,1,0)\). Направляющий вектор MC равен \((0,a,a)\). Если φ — угол между прямой и плоскостью, то синус φ равен модулю проекции единичного направляющего вектора прямой на единичную нормаль плоскости:

\(\sin \varphi = \frac{|(0,a,a)\cdot(1,1,0)|}{\sqrt{a^2+a^2}\,\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\).

Следовательно, \(\varphi = 30^\circ\).

Ответ: 1) \(\arctan\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 35.3^\circ\); 2) \(30^\circ\).