Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаК/р №3 «Окружность» Вариант 1 1. MN и MK — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см. 2. Хорды AB и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD. 3. В треугольник вписана окружность так, что получившиеся отрезки касательных равны 7см, 6 см, 5см. Найдите периметр треугольника. 4. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если AC=12 см, BC = 5см. 5. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус, описанной около него окружности = 4 см.
Ответ:
Решение:
Дано: Окружность с центром O, радиус \( r = 5 \) см. MN и MK — касательные, проведенные из точки M. \( MO = 13 \) см.
Найти: MN, MK.
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник MON, где ON — радиус, проведенный в точку касания N. ON = 5 см, MO = 13 см.
По теореме Пифагора:
\[ MN^2 + ON^2 = MO^2 \]
\[ MN^2 + 5^2 = 13^2 \]
\[ MN^2 + 25 = 169 \]
\[ MN^2 = 169 - 25 = 144 \]
\[ MN = \sqrt{144} = 12 \) см.
Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то MN = MK = 12 см.
Ответ: MN = 12 см, MK = 12 см.
Дано: Хорды AB и CD пересекаются в точке F. AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF.
Найти: CD.
Решение:
По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равны:
\[ AF \cdot BF = CF \cdot DF \]
Из условия задачи известно, что \( CF = DF \). Обозначим \( CF = DF = x \).
\[ 4 \cdot 16 = x \cdot x \]
\[ 64 = x^2 \]
\[ x = \sqrt{64} = 8 \) см.
Тогда \( CD = CF + DF = 8 + 8 = 16 \) см.
Ответ: CD = 16 см.
Дано: В треугольник вписана окружность. Отрезки касательных равны 7 см, 6 см, 5 см.
Найти: Периметр треугольника.
Решение:
Каждый отрезок касательной, проведенной из вершины треугольника к вписанной окружности, равен.
Пусть отрезки, исходящие из вершины A, равны \( a = 7 \) см.
Пусть отрезки, исходящие из вершины B, равны \( b = 6 \) см.
Пусть отрезки, исходящие из вершины C, равны \( c = 5 \) см.
Стороны треугольника будут равны:
- Сторона AB = \( a + b = 7 + 6 = 13 \) см.
- Сторона BC = \( b + c = 6 + 5 = 11 \) см.
- Сторона AC = \( a + c = 7 + 5 = 12 \) см.
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
\[ P = AB + BC + AC = 13 + 11 + 12 = 36 \) см.
Ответ: Периметр треугольника равен 36 см.
Дано: Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \). Около треугольника описана окружность. AC = 12 см, BC = 5 см.
Найти: Радиус описанной окружности.
Решение:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ AB^2 = 12^2 + 5^2 \]
\[ AB^2 = 144 + 25 \]
\[ AB^2 = 169 \]
\[ AB = \sqrt{169} = 13 \) см.
Диаметр описанной окружности равен гипотенузе, то есть \( d = 13 \) см.
Радиус описанной окружности равен половине диаметра:
\[ R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \) см.
Ответ: Радиус описанной окружности равен 6.5 см.
Дано: Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности \( R = 4 \) см.
Найти: Сторону равностороннего треугольника.
Решение:
Для равностороннего треугольника существует формула, связывающая сторону \( a \) и радиус описанной окружности \( R \):
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
Выразим сторону \( a \) из этой формулы:
\[ a = R \cdot \sqrt{3} \]
Подставим значение радиуса:
\[ a = 4 \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) \) см.
Ответ: Сторона равностороннего треугольника равна \( 4\sqrt{3} \) см.
