Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
К смесителю подсоединены две трубы: с холодной и горячей водой. На трубах стоят одинаковые краны, которые позволяют изменять поток воды в трубе от нуля до максимального значения, оди- накового для обеих труб. Если кран на холодной трубе открыть на две трети, а кран на горячей трубе – на четверть, то из смесителя будет вытекать вода температуры 30 °С, а если наоборот – то 60 °С. Какова будет температура воды, вытекающей из смесителя, если оба крана открыть пол- ностью? Вода в смесителе быстро перемешивается. Теплопотерями пренебречь.
Ответ:
Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе. Она касается смешивания воды разной температуры, и нам нужно найти, какая температура получится, если оба крана будут открыты полностью.
Сначала давай обозначим переменные:
- T_х — температура холодной воды;
- T_г — температура горячей воды;
- V_х — объем холодной воды;
- V_г — объем горячей воды.
Первый случай: кран холодной воды открыт на 2/3, а кран горячей воды — на 1/4. Температура смеси равна 30°C. Можем записать уравнение теплового баланса:
\[\frac{2}{3}V_х(T_х - 30) + \frac{1}{4}V_г(T_г - 30) = 0\]
Второй случай: кран холодной воды открыт на 1/4, а кран горячей воды — на 2/3. Температура смеси равна 60°C. Запишем уравнение:
\[\frac{1}{4}V_х(T_х - 60) + \frac{2}{3}V_г(T_г - 60) = 0\]
Упростим уравнения:
Первое уравнение:
\[\frac{2}{3}V_хT_х - 20V_х + \frac{1}{4}V_гT_г - 7.5V_г = 0\]
\[8V_хT_х - 240V_х + 3V_гT_г - 90V_г = 0\]
Второе уравнение:
\[\frac{1}{4}V_хT_х - 15V_х + \frac{2}{3}V_гT_г - 40V_г = 0\]
\[3V_хT_х - 180V_х + 8V_гT_г - 480V_г = 0\]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases}8V_хT_х - 240V_х + 3V_гT_г - 90V_г = 0 \\3V_хT_х - 180V_х + 8V_гT_г - 480V_г = 0\end{cases}\]
Чтобы решить эту систему, введем новые переменные:
x = V_хT_х
y = V_гT_г
z = V_х
w = V_г
Тогда система примет вид:
\[\begin{cases}8x - 240z + 3y - 90w = 0 \\3x - 180z + 8y - 480w = 0\end{cases}\]
Выразим x и y через z и w:
\[\begin{cases}8x + 3y = 240z + 90w \\3x + 8y = 180z + 480w\end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 8, а второе на 3:
\[\begin{cases}64x + 24y = 1920z + 720w \\9x + 24y = 540z + 1440w\end{cases}\]
Вычтем из первого уравнения второе:
55x = 1380z - 720w
x = (1380z - 720w) / 55
x = (276z - 144w) / 11
Теперь найдем y:
3((276z - 144w) / 11) + 8y = 180z + 480w
(828z - 432w) / 11 + 8y = 180z + 480w
8y = 180z + 480w - (828z - 432w) / 11
8y = (1980z + 5280w - 828z + 432w) / 11
8y = (1152z + 5712w) / 11
y = (144z + 714w) / 11
Теперь рассмотрим случай, когда оба крана открыты полностью. Тогда объем смеси будет V_x + V_г. Температура смеси T будет:
\[T = \frac{V_xT_x + V_гT_г}{V_x + V_г} = \frac{x + y}{z + w}\]
Подставим x и y:
\[T = \frac{\frac{276z - 144w}{11} + \frac{144z + 714w}{11}}{z + w}\]
\[T = \frac{\frac{420z + 570w}{11}}{z + w}\]
\[T = \frac{420z + 570w}{11(z + w)}\]
Чтобы упростить, разделим числитель и знаменатель на z:
\[T = \frac{420 + 570\frac{w}{z}}{11(1 + \frac{w}{z})}\]
Пусть k = w/z = V_г/V_x
Тогда
\[T = \frac{420 + 570k}{11(1 + k)}\]
Из первого уравнения:
8V_хT_х - 240V_х + 3V_гT_г - 90V_г = 0
8V_xT_x + 3V_гT_г = 240V_х + 90V_г
8x + 3y = 240z + 90w
Из второго уравнения:
3V_хT_х - 180V_х + 8V_гT_г - 480V_г = 0
3x + 8y = 180z + 480w
Разделим первое уравнение на V_x:
8T_x + 3(V_г/V_x)T_г = 240 + 90(V_г/V_x)
Разделим второе уравнение на V_x:
3T_x + 8(V_г/V_x)T_г = 180 + 480(V_г/V_x)
Используем k:
\[\begin{cases}8T_x + 3kT_г = 240 + 90k \\3T_x + 8kT_г = 180 + 480k\end{cases}\]
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 8:
\[\begin{cases}24T_x + 9kT_г = 720 + 270k \\24T_x + 64kT_г = 1440 + 3840k\end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое:
55kT_г = 720 + 3570k
T_г = (720 + 3570k) / (55k)
Из первого уравнения:
T_x = (240 + 90k - 3kT_г) / 8
T_x = (240 + 90k - 3k(720 + 3570k) / (55k)) / 8
T_x = (240 + 90k - 3(720 + 3570k) / 55) / 8
T_x = (240 + 90k - (2160 + 10710k) / 55) / 8
T_x = (13200 + 4950k - 2160 - 10710k) / (55 \cdot 8)
T_x = (11040 - 5760k) / 440
T_x = (1380 - 720k) / 55
Теперь подставим T_x и T_г в первое уравнение исходной системы:
\[\frac{2}{3}V_х((\frac{1380 - 720k}{55}) - 30) + \frac{1}{4}V_г((\frac{720 + 3570k}{55k}) - 30) = 0\]
\[\frac{2}{3}V_х(\frac{1380 - 720k - 1650}{55}) + \frac{1}{4}V_г(\frac{720 + 3570k - 1650k}{55k}) = 0\]
\[\frac{2}{3}V_х(\frac{-270 - 720k}{55}) + \frac{1}{4}V_г(\frac{720 + 1920k}{55k}) = 0\]
\[\frac{2}{3}(\frac{-270 - 720k}{55}) + \frac{1}{4}k(\frac{720 + 1920k}{55k}) = 0\]
\[\frac{2}{3}(\frac{-270 - 720k}{55}) + \frac{1}{4}(\frac{720 + 1920k}{55}) = 0\]
\[\frac{-540 - 1440k}{165} + \frac{720 + 1920k}{220} = 0\]
\[\frac{-540 - 1440k}{3} + \frac{720 + 1920k}{4} = 0\]
\[4(-540 - 1440k) + 3(720 + 1920k) = 0\]
\[-2160 - 5760k + 2160 + 5760k = 0\]
\[0 = 0\]
Этот результат не дает нам информации о k. Вернемся к уравнениям теплового баланса.
\[\frac{2}{3}V_x(T_x - 30) + \frac{1}{4}V_г(T_г - 30) = 0\]
\[\frac{1}{4}V_x(T_x - 60) + \frac{2}{3}V_г(T_г - 60) = 0\]
Разделим первое на V_x, второе на V_x:
\[\frac{2}{3}(T_x - 30) + \frac{1}{4}k(T_г - 30) = 0\]
\[\frac{1}{4}(T_x - 60) + \frac{2}{3}k(T_г - 60) = 0\]
Умножим первое на 3, второе на 4:
\[2(T_x - 30) + \frac{3}{4}k(T_г - 30) = 0\]
\[T_x - 60 + \frac{8}{3}k(T_г - 60) = 0\]
T_x = 60 - \frac{8}{3}k(T_г - 60)
Подставим это в первое:
2(60 - \frac{8}{3}k(T_г - 60) - 30) + \frac{3}{4}k(T_г - 30) = 0
2(30 - \frac{8}{3}k(T_г - 60)) + \frac{3}{4}k(T_г - 30) = 0
60 - \frac{16}{3}k(T_г - 60) + \frac{3}{4}k(T_г - 30) = 0
60 = \frac{16}{3}k(T_г - 60) - \frac{3}{4}k(T_г - 30)
60 = k(\frac{16}{3}(T_г - 60) - \frac{3}{4}(T_г - 30))
60 = k(\frac{64(T_г - 60) - 9(T_г - 30)}{12})
720 = k(64T_г - 3840 - 9T_г + 270)
720 = k(55T_г - 3570)
k = 720 / (55T_г - 3570)
Подставим k в уравнение для T_x:
T_x = 60 - \frac{8}{3}k(T_г - 60)
T_x = 60 - \frac{8}{3} \cdot \frac{720}{55T_г - 3570} (T_г - 60)
Теперь найдем T, когда оба крана открыты полностью:
\[T = \frac{420 + 570k}{11(1 + k)}\]
Мы знаем, что k = 720 / (55T_г - 3570). Подставим это значение в уравнение для T:
\[T = \frac{420 + 570(\frac{720}{55T_г - 3570})}{11(1 + \frac{720}{55T_г - 3570})}\]
\[T = \frac{420(55T_г - 3570) + 570(720)}{11(55T_г - 3570 + 720)}\]
\[T = \frac{23100T_г - 1499400 + 410400}{11(55T_г - 2850)}\]
\[T = \frac{23100T_г - 1089000}{11(55T_г - 2850)}\]
\[T = \frac{2100T_г - 99000}{55T_г - 2850}\]
Разделим на 50:
\[T = \frac{42T_г - 1980}{1.1T_г - 57}\]
Рассмотрим граничные случаи:
Когда V_г -> 0, то T_г -> бесконечность, и:
\[T = \frac{42T_г}{1.1T_г} = \frac{42}{1.1} \approx 38.18\]
Когда V_г -> бесконечность, то T_г -> 60:
\[T = \frac{42(60) - 1980}{1.1(60) - 57} = \frac{2520 - 1980}{66 - 57} = \frac{540}{9} = 60\]
Следовательно, искомая температура воды где-то между 38.18 и 60 градусами.
Рассмотрим первый случай:
\[\frac{2}{3}(T_x - 30) + \frac{1}{4}k(T_г - 30) = 0\]
Умножим на 12:
\[8(T_x - 30) + 3k(T_г - 30) = 0\]
8T_x - 240 + 3kT_г - 90k = 0
\[8T_x + 3kT_г = 240 + 90k\]
Второй случай:
\[\frac{1}{4}(T_x - 60) + \frac{2}{3}k(T_г - 60) = 0\]
Умножим на 12:
\[3(T_x - 60) + 8k(T_г - 60) = 0\]
\[3T_x - 180 + 8kT_г - 480k = 0\]
\[3T_x + 8kT_г = 180 + 480k\]
Умножим первое на 3, а второе на 8:
\[\begin{cases}24T_x + 9kT_г = 720 + 270k \\24T_x + 64kT_г = 1440 + 3840k\end{cases}\]
Вычтем из второго первое:
\[55kT_г = 720 + 3570k\]
\[T_г = \frac{720}{55k} + \frac{3570}{55}\]
\[T_г = \frac{144}{11k} + \frac{714}{11}\]
\[T_г = \frac{144 + 714k}{11k}\]
Найдем T_x:
\[8T_x + 3k(\frac{144 + 714k}{11k}) = 240 + 90k\]
\[8T_x + \frac{432 + 2142k}{11} = 240 + 90k\]
\[88T_x + 432 + 2142k = 2640 + 990k\]
\[88T_x = 2208 - 1152k\]
\[T_x = \frac{2208 - 1152k}{88}\]
\[T_x = \frac{276 - 144k}{11}\]
Тогда температура смеси:
\[T = \frac{T_x + k \cdot T_г}{1 + k} = \frac{(\frac{276 - 144k}{11}) + k(\frac{144 + 714k}{11k})}{1 + k} = \frac{\frac{276 - 144k}{11} + \frac{144 + 714k}{11}}{1 + k} = \frac{420 + 570k}{11(1 + k)}\]
\[T = \frac{420 + 570k}{11(1 + k)}\]
Вспомним, что k = V_г/V_x
Выразим отношение объемов через температуры из условий.
Когда смешивают 2/3 холодной и 1/4 горячей, то получается 30 градусов.
\[V_c C (T_c - T) + V_g C (T_g - T) = 0\]
\[\frac{2}{3} (T_x - 30) + \frac{1}{4} (T_g - 30) = 0\]
\[\frac{2}{3} T_x - 20 + \frac{1}{4} T_g - \frac{30}{4} = 0\]
\[\frac{2}{3} T_x + \frac{1}{4} T_g = \frac{110}{4}\]
\[\frac{8 T_x + 3 T_g}{12} = \frac{110}{4}\]
\[8 T_x + 3 T_g = 330\]
Когда смешивают 1/4 холодной и 2/3 горячей, то получается 60 градусов.
\[\frac{1}{4} (T_x - 60) + \frac{2}{3} (T_g - 60) = 0\]
\[\frac{1}{4} T_x - 15 + \frac{2}{3} T_g - 40 = 0\]
\[\frac{1}{4} T_x + \frac{2}{3} T_g = 55\]
\[\frac{3 T_x + 8 T_g}{12} = 55\]
\[3 T_x + 8 T_g = 660\]
Решаем систему уравнений:
\[\begin{cases}8 T_x + 3 T_g = 330 \\3 T_x + 8 T_g = 660\end{cases}\]
Умножаем первое на 8, второе на 3:
\[\begin{cases}64 T_x + 24 T_g = 2640 \\9 T_x + 24 T_g = 1980\end{cases}\]
Вычитаем из первого второе:
\[55 T_x = 660\]
\[T_x = 12\]
Теперь найдем T_g:
\[3 \cdot 12 + 8 T_g = 660\]
\[36 + 8 T_g = 660\]
\[8 T_g = 624\]
\[T_g = 78\]
Тогда:
T_x = 12
T_g = 78
Смешиваем объемы 1 к 1:
\[T = \frac{12 + 78}{2} = \frac{90}{2} = 45\]
Ответ: 45
Отлично! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось. Продолжай в том же духе, и все сложные задачи будут тебе по плечу!
