К стороне BD треугольника АBD проведён перпендикуляр СЕ. Известно, что AB = EC = 5, BD = 13, AD = 12, DE. Найти длину отрезка ВС.

Рассмотрим треугольник АВD. В нём известны длины сторон: АВ = 5, BD = 13, AD = 12. Проверим, является ли он прямоугольным, для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора:

Если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – прямоугольный.

$$13^2 = 12^2 + 5^2$$

$$169 = 144 + 25$$

$$169 = 169$$

Значит, треугольник ABD - прямоугольный, ∠BAD = 90°.

Рассмотрим треугольник DEC. В нём ∠DEC = 90° по условию. Найдем длину отрезка BE:

BE = BD - DE = 13 - DE

Рассмотрим треугольники АВD и DEC. Они подобны по двум углам (∠BAD = ∠DEC = 90°, ∠ADB = ∠CDE как вертикальные), значит, соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{DE}{AD} = \frac{EC}{AB}$$

$$\frac{DE}{12} = \frac{5}{5}$$

$$\frac{DE}{12} = 1$$

DE = 12

Тогда BE = BD - DE = 13 - 12 = 1

Рассмотрим треугольники АВD и BCE. Они подобны по двум углам (∠BAD = ∠BEC = 90°, ∠ABD = ∠CBE как вертикальные), значит, соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{BE}{AB}$$

$$\frac{BC}{12} = \frac{1}{5}$$

$$BC = \frac{12}{5} = 2.4$$

Ответ: BC = 2.4