К-2 Уровень 1 Вариант 2 1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше этой стороны. Найдите площадь треугольника. 2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника. 3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр. 4. * В прямоугольной трапеции АВСD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше этой стороны. Найдите площадь треугольника.

Высота треугольника равна $$12 \div 3 = 4$$ см.

Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где $$a$$ - сторона треугольника, $$h$$ - высота, проведенная к этой стороне.

Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4 = 24$$ см².

Ответ: 24 см²

2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.

Пусть $$a = 12$$ см - один катет, $$c = 13$$ см - гипотенуза. Найдем второй катет $$b$$ по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$.

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$ см².

Ответ: 5 см, 30 см²

3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр.

Пусть $$d_1 = 10$$ см и $$d_2 = 12$$ см - диагонали ромба.

Площадь ромба $$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$ см².

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник со сторонами 5 см и 6 см. Сторона ромба $$a$$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$$a = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$$ см.

Периметр ромба $$P = 4a = 4 \cdot \sqrt{61}$$ см.

Ответ: 60 см², $$4\sqrt{61}$$ см

4. * В прямоугольной трапеции АВСD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

Пусть AB - меньшее основание, CD - большее основание. BC - меньшая боковая сторона, AD - большее основание, угол A = 60°, BH - высота, BH делит AD пополам, AB = 8 см.

Рассмотрим треугольник ABH. Угол ABH = 90° - 60° = 30°. Тогда AH = AB / 2 = 8 / 2 = 4 см (катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы).

BH = AB * sin(60°) = 8 * (√3 / 2) = 4√3 см.

Так как BH делит AD пополам, то AH = HD = 4 см. Тогда CD = AH = 4 см. AD = AH + HD = 4 + 4 = 8 см.

Площадь трапеции $$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$ см².

Ответ: $$24\sqrt{3}$$ см²