К-5 В-2 «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» 1. В треугольнике АВС известно, что∠C= 90°, АС= 8 см. ВС= 6 см. Найдите: ctg B; 2) sin A. 2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC= 90°) известно, что АС= 12 см. tg A = 0,8. Найдите катет ВС. 2 cos² 30°+sin² 52° + cos² 3. Найдите значение выражения cos 2 cos² 52°. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведенной к его основанию. 5. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, AB = 6 см. ∠A = 60°. ∠CBD = 30°. Найдите отрезок CD. 6. Высота пятиэтажного дома 15 м. а длина пожарной лестницы 30 м. На какой угол должна быть поднята лестница, чтобы достать до крыши дома, если её основание расположено на высоте 2 м от земли?

1. В треугольнике ABC найдите ctg B и sin A.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°), где AC = 8 см и BC = 6 см, нужно найти ctg B и sin A.

Сначала найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\]

Теперь найдем ctg B и sin A:

1. ctg B:

ctg B = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{6}{8}\) = 0.75

2. sin A:

sin A = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{6}{10}\) = 0.6

2. В прямоугольном треугольнике ABC найдите катет BC.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°), где AC = 12 см и tg A = 0.8, нужно найти катет BC.

Используем определение тангенса:

tg A = \(\frac{BC}{AC}\)

Отсюда:

BC = AC \(\cdot\) tg A = 12 \(\cdot\) 0.8 = 9.6 см

3. Найдите значение выражения cos² 30°+sin² 52° + cos² 52°.

Необходимо найти значение выражения:

cos² 30° + sin² 52° + cos² 52°

Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

Тогда:

cos² 30° + (sin² 52° + cos² 52°) = cos² 30° + 1

Известно, что cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно, cos² 30° = \(\frac{3}{4}\)

cos² 30° + 1 = \(\frac{3}{4}\) + 1 = \(\frac{7}{4}\) = 1.75

4. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной и высотой.

Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона 13 см.

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 5 см.

Найдем высоту по теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Угол α между боковой стороной и высотой - это угол между гипотенузой (13 см) и катетом (12 см) в прямоугольном треугольнике.

1. sin α = \(\frac{5}{13}\)
2. cos α = \(\frac{12}{13}\)
3. tg α = \(\frac{5}{12}\)
4. ctg α = \(\frac{12}{5}\) = 2.4

5. Найдите отрезок CD.

Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, AB = 6 см, ∠A = 60°, ∠CBD = 30°.

Рассмотрим треугольник ABD: ∠A = 60°, ∠ADB = 90°

AD = AB \(\cdot\) cos A = 6 \(\cdot\) cos 60° = 6 \(\cdot\) 0.5 = 3 см

Рассмотрим треугольник CBD: ∠CBD = 30°, ∠CDB = 90°

∠C = 180° - 90° - 30° = 60°

BD = AB \(\cdot\) sin A = 6 \(\cdot\) sin 60° = 6 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 3\(\sqrt{3}\) см

CD = BD \(\cdot\) ctg C = 3\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) ctg 60° = 3\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = 3 см

6. На какой угол должна быть поднята лестница?

Высота дома 15 м, длина лестницы 30 м, основание лестницы расположено на высоте 2 м от земли.

Высота, на которую поднимается лестница: 15 - 2 = 13 м

sin α = \(\frac{13}{30}\) ≈ 0.4333

α = arcsin(0.4333) ≈ 25.67°