К-5, Вариант 1 1. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности составляет 120 см². 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Ответ: 216\(\sqrt{3}\) см²

Задание 1

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 12 см и образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
• Тогда половина диагонали основания равна: 12\(\cdot\)cos60° = 12 \(\cdot\) 0,5 = 6 см.
• Вся диагональ основания равна: 6 \(\cdot\) 2 = 12 см.
• Сторона основания равна: a = \(\frac{12}{\sqrt{2}}\) = 6\(\sqrt{2}\) см.
• Апофема (высота боковой грани) равна: h = \(\sqrt{12^2 - (3\sqrt{2})^2 }\) = \(\sqrt{144 - 18}\) = \(\sqrt{126}\) = 3\(\sqrt{14}\) см.
• Площадь одной боковой грани равна: S = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 6\(\sqrt{2}\) \(\cdot\) 3\(\sqrt{14}\) = 9\(\sqrt{28}\) = 18\(\sqrt{7}\) см².
• Площадь боковой поверхности пирамиды равна: 4 \(\cdot\) 18\(\sqrt{7}\) = 72\(\sqrt{7}\) см².

Ответ: 72\(\sqrt{7}\) см²

Задание 2

В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности составляет 120 см².

• Найдем гипотенузу основания: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) см.
• Площадь боковой поверхности равна: S = (a + b + c) \(\cdot\) h, где h - боковое ребро призмы.
• Тогда: 120 = (8 + 6 + 10) \(\cdot\) h.
• 120 = 24h
• h = 120 : 24
• h = 5 см.

Ответ: 5 см

Задание 3

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

• Пусть a = 3 см, b = 5 см, d = 10 см (большая диагональ параллелепипеда). Угол между сторонами основания равен 60°.
• Квадрат большей диагонали основания равен: \(d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(180 - \alpha)\)
• \(d^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot cos(180 - 60)\)
• \(d^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-cos 60)\)
• \(d^2 = 34 + 30 \cdot 0.5\)
• \(d^2 = 34 + 15 = 49\)
• d = \(\sqrt{49}\) = 7 см.
• Далее, квадрат диагонали параллелепипеда равен: \(D^2 = d^2 + h^2\), где h - боковое ребро.
• Тогда: \(10^2 = 7^2 + h^2\)
• \(100 = 49 + h^2\)
• \(h^2 = 100 - 49 = 51\)
• h = \(\sqrt{51}\) см.

Ответ: \(\sqrt{51}\) см