2. К вертикальной заряженной бесконечной плоскости одним концом прикреплена нить, на которой висит одноименно заряженный шарик. Определить массу шарика, если нить образует с плоскостью угол 10°, заряд шарика q = 1 нКл, поверхностная плотность заряда плоскости σ = 30 мкКл/м²?

Решение:

Дано:

• q = 1 нКл = 1 × 10⁻⁹ Кл
• σ = 30 мкКл/м² = 30 × 10⁻⁶ Кл/м²
• α = 10°
• g ≈ 9,8 м/с²

Найти: m - ?

Решение:

Запишем силы, действующие на шарик:

• сила тяжести: $$F_т = mg$$, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения.
• электрическая сила: $$F_э = qE$$, где q - заряд шарика, E - напряженность электрического поля, созданного плоскостью.

Напряженность электрического поля, созданного бесконечной плоскостью, равна: $$E = \frac{σ}{2ε_0}$$, где σ - поверхностная плотность заряда плоскости, ε₀ - электрическая постоянная (ε₀ ≈ 8,85 × 10⁻¹² Ф/м).

Т.к. шарик находится в равновесии, то сумма сил, действующих на него, равна нулю. В проекциях на оси координат X и Y:

• Ось X: $$F_э - Tsinα = 0$$
• Ось Y: $$Tcosα - F_т = 0$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{F_э}{F_т} = tgα$$

$$\frac{qE}{mg} = tgα$$

Выразим массу шарика:

$$m = \frac{qE}{gtgα} = \frac{qσ}{2ε_0gtgα}$$

Подставим численные значения и произведем расчет:

$$m = \frac{1 \times 10^{-9} \times 30 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.8 \times tg10°} ≈ \frac{3 \times 10^{-14}}{3.07 \times 10^{-11}} ≈ 9.77 \times 10^{-4} \text{ кг} ≈ 0.98 \text{ г}$$

Ответ: $$m ≈ 0.98 \text{ г}$$