К5. 1 вариант 1) В остроугольном треугольнике MNP биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке О, причем ОК = 9 см. Найдите расстояние от точки О до прямой MN. 2) Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см. Найдите гипотенузу. 3) В треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ, равна 2 см. Найти: АВ. 4) Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. 5) Дано: ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75° (рис. 4.245). Доказать: AD || BC. B C A D Рис. 4.245

1. Расстояние от точки О до прямой MN:

Эта задача требует дополнительных данных для решения. Нам нужно знать, как расположены биссектриса и высота относительно сторон треугольника, а также какие-либо углы.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника:

Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. По условию:

• c + a = 42
• Второй катет b.
• По теореме Пифагора: a² + b² = c²
• Углы треугольника: 90°, 60°, 30°.
• Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: a = c/2

Подставим a = c/2 в первое уравнение:

c + c/2 = 42

(3/2)c = 42

c = 42 * (2/3)

c = 28

Ответ: Гипотенуза равна 28 см.

3. Нахождение АВ:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• Угол B = 90°
• Угол C = 60°
• Значит, угол A = 180° - 90° - 60° = 30°
• Высота BB₁ = 2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁:

• Угол B₁ = 90°
• Угол A = 30°
• Высота BB₁ = 2 см (катет, противолежащий углу A).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В данном случае, гипотенуза треугольника ABB₁ — это сторона AB.

BB₁ = AB / 2

2 = AB / 2

AB = 2 * 2 = 4

Ответ: АВ = 4 см.

4. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

1. Постройте отрезок — это будет гипотенуза AB.
2. От точки А (или B) проведите луч под заданным острым углом к гипотенузе.
3. Из точки B (или A) проведите перпендикуляр к построенному лучу. Точка пересечения перпендикуляра и луча будет третьей вершиной треугольника C.

5. Доказательство AD || BC:

В четырехугольнике ABCD:

• ∠BAD = 90°
• ∠BCD = 90°

Сумма противоположных углов ∠BAD и ∠BCD равна 180° (90° + 90° = 180°). Это признак того, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Теперь рассмотрим углы:

• ∠ADB = 15°
• ∠BDC = 75°
• ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 15° + 75° = 90°

Если ABCD — вписанный четырехугольник, то углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Угол ADB (15°) опирается на дугу AB.

Угол ACB опирается на дугу AB. Следовательно, ∠ACB = ∠ADB = 15°.

Угол BDC (75°) опирается на дугу BC.

Угол BAC опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAC = ∠BDC = 75°.

Теперь рассмотрим треугольник ABC:

• ∠BAC = 75°
• ∠ACB = 15°
• ∠ABC = 180° - 75° - 15° = 90°

Итак, мы имеем:

• ∠ABC = 90°
• ∠ADC = 90°

В четырехугольнике ABCD ∠ABC + ∠ADC = 90° + 90° = 180°. Это снова говорит о том, что четырехугольник вписанный.

Чтобы доказать AD || BC, нам нужно показать, что внутренние односторонние углы в сумме дают 180°, или накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны.

В данном случае, если мы рассмотрим прямую BD как секущую для прямых AD и BC, то углы ∠ADB и ∠DBC являются накрест лежащими. Нам дано ∠ADB = 15°.

Из прямоугольного треугольника BCD (∠BCD = 90°, ∠BDC = 75°), найдем ∠DBC:

∠DBC = 180° - 90° - 75° = 15°.

Поскольку ∠ADB = 15° и ∠DBC = 15°, и эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD, то AD || BC.

Доказано.