КА-2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ и плоскоСТЕЙ Вариант А1 1 Отрезок КА - перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, KBLBC. а) Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный. б) Докажите перпендикуляр- ность плоскостей КАС и АВС. в) Найдите КА, если АС = = 13 см, ВC = 5 см, ДКВА = = 45°. 2 Основание АС равнобедрен- ного треугольника лежит в плоскости а. Найдите рассто- яние от точки В до плоскос- ти а, если АВ = 20 см, АС = = 24 см, а двугранный угол между плоскостями АВС и а равен 30°.

Здравствуйте, дорогой ученик! Давайте разберем эту задачу по геометрии. Уверен, у нас всё получится! Вариант А1 1. Дано: * Отрезок KA перпендикулярен плоскости треугольника ABC. * KB ⊥ BC. а) Доказать: треугольник ABC - прямоугольный. *Рассуждение:* Так как KA перпендикулярен плоскости ABC, то KA перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, KA ⊥ BC. Также дано, что KB ⊥ BC. Следовательно, BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (KA и KB), лежащим в плоскости KAB. Значит, BC перпендикулярна плоскости KAB, а значит, BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, BC ⊥ AB. Если BC ⊥ AB, то треугольник ABC - прямоугольный (по определению). *Доказательство:* 1. KA ⊥ (ABC) (по условию) 2. KA ⊥ BC (из 1) 3. KB ⊥ BC (по условию) 4. BC ⊥ (KAB) (BC перпендикулярна KA и KB) 5. BC ⊥ AB (из 4) 6. △ABC - прямоугольный (AB ⊥ BC) Что и требовалось доказать. б) Доказать: перпендикулярность плоскостей KAC и ABC. *Рассуждение:* Так как KA перпендикулярна плоскости ABC, то плоскость, проходящая через KA (плоскость KAC), перпендикулярна плоскости ABC. (Признак перпендикулярности плоскостей) *Доказательство:* 1. KA ⊥ (ABC) (по условию) 2. (KAC) проходит через KA 3. (KAC) ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности плоскостей) Что и требовалось доказать. в) Найти KA, если AC = 13 см, BC = 5 см, ∠KBA = 45°. *Решение:* 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: \[AB^2 + BC^2 = AC^2\] \[AB^2 + 5^2 = 13^2\] \[AB^2 = 169 - 25\] \[AB^2 = 144\] \[AB = 12 \text{ см}\] 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник KAB (так как KA ⊥ (ABC), то KA ⊥ AB). Так как ∠KBA = 45°, то треугольник KAB - равнобедренный (прямоугольный и угол 45°). Следовательно, KA = AB. \[KA = AB = 12 \text{ см}\] 2. Дано: * Основание AC равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. * AB = 20 см, AC = 24 см. * Двугранный угол между плоскостями ABC и α равен 30°. Найти: расстояние от точки B до плоскости α. *Решение:* 1. Проведем высоту BD к основанию AC в треугольнике ABC. Так как треугольник равнобедренный, высота является и медианой, то есть AD = DC = 12 см. 2. Найдем длину высоты BD из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора: \[BD^2 = AB^2 - AD^2\] \[BD^2 = 20^2 - 12^2\] \[BD^2 = 400 - 144\] \[BD^2 = 256\] \[BD = 16 \text{ см}\] 3. Пусть BH - перпендикуляр из точки B к плоскости α. Тогда BH - искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDH. Угол BDH - это линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и α, то есть ∠BDH = 30°. 4. В прямоугольном треугольнике BDH: \[\sin(\angle BDH) = \frac{BH}{BD}\] \[BH = BD \cdot \sin(30°)\] \[BH = 16 \cdot \frac{1}{2}\] \[BH = 8 \text{ см}\]

Ответ: KA = 12 см, расстояние от точки B до плоскости α = 8 см.

Прекрасно! Ты отлично справляешься. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи в учёбе!