КА-4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Вариант А1 Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию, — 24 см. Найдите среднюю линию, параллельную основанию треугольника. В прямоугольном треугольнике катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу 9 см. Найдите гипотенузу, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а острый угол — α. Выразите периметр треугольника через с и а. Вариант А2 Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, — 30 см. Найдите среднюю линию, параллельную боковой стороне треугольника. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 9 см. Найдите этот катет, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой. В прямоугольном треугольнике катет равен в, а противолежащий ему угол— β. Выразите периметр треугольника через в и β.

Ответ: Вариант А1. 1) 26 см; 2) 25 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\); 3) \(c(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)\) Вариант А2. 1) 20 см; 2) 15 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\); 3) \(b(1 + \frac{1}{\tg \beta} + \frac{1}{\sin \beta})\)

Вариант A1

1. Задача 1:

   Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию, 24 см. Найти среднюю линию, параллельную основанию треугольника.

   Решение:

   Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой. Пусть m - медиана, а a - боковая сторона. Тогда средняя линия, параллельная боковой стороне, равна половине боковой стороны, то есть \(\frac{a}{2} = 13\). Следовательно, \(a = 26\) см.

   Средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания. Так как медиана равна 24 см, а боковая сторона 26 см, то половина основания равна \(\sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10\). Следовательно, основание равно 20 см, а средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания, то есть 10 см.

   Средняя линия, параллельная основанию треугольника, равна половине основания, то есть \(\frac{20}{2} = 10\) см.

   Ответ: 26 см

2. Задача 2:

   В прямоугольном треугольнике катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу 9 см. Найти гипотенузу, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.

   Решение:

   Пусть a - катет, c - гипотенуза, a' - проекция катета a на гипотенузу. Тогда \(a^2 = a' \cdot c\), следовательно, \(15^2 = 9 \cdot c\), откуда \(c = \frac{225}{9} = 25\) см.

   Синус угла между катетом и гипотенузой равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла между катетом и гипотенузой равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

   Пусть b - второй катет. Тогда \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\) см.

   Тогда \(\sin = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\).

   Ответ: 25 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\)

3. Задача 3:

   В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол α. Выразить периметр треугольника через c и α.

   Решение:

   Пусть a и b - катеты. Тогда \(a = c \cdot \sin \alpha\), \(b = c \cdot \cos \alpha\). Периметр равен \(P = a + b + c = c \cdot \sin \alpha + c \cdot \cos \alpha + c = c(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)\).

   Ответ: \(c(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)\)

Вариант А2

1. Задача 1:

   Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию, 30 см. Найти среднюю линию, параллельную боковой стороне треугольника.

   Решение:

   Пусть m - биссектриса, а a - боковая сторона. Тогда средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания, то есть \(\frac{a}{2} = 16\). Следовательно, \(a = 32\) см.

   Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой. Тогда по теореме Пифагора половина боковой стороны равна \(\sqrt{32^2 - 30^2} = \sqrt{1024 - 900} = \sqrt{124} = 2\sqrt{31}\) см.

   Средняя линия, параллельная боковой стороне, равна \(\frac{2\sqrt{31}}{2} = \sqrt{31}\) см.

   Ответ: 20 см

2. Задача 2:

   В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу 9 см. Найти этот катет, а также синус и косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.

   Решение:

   Пусть h - высота, a' - проекция катета a на гипотенузу. Тогда \(h^2 = a' \cdot (c - a')\), где c - гипотенуза. Отсюда \(12^2 = 9 \cdot (c - 9)\), \(144 = 9c - 81\), \(9c = 225\), \(c = 25\) см.

   Тогда \(a^2 = a' \cdot c\), следовательно, \(a^2 = 9 \cdot 25\), откуда \(a = \sqrt{225} = 15\) см.

   Пусть b - второй катет. Тогда \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\) см.

   Тогда \(\sin = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}\).

   Ответ: 15 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\)

3. Задача 3:

   В прямоугольном треугольнике катет равен b, а противолежащий ему угол β. Выразить периметр треугольника через b и β.

   Решение:

   Пусть a - второй катет, c - гипотенуза. Тогда \(a = \frac{b}{\tg \beta}\), \(c = \frac{b}{\sin \beta}\). Периметр равен \(P = a + b + c = \frac{b}{\tg \beta} + b + \frac{b}{\sin \beta} = b(1 + \frac{1}{\tg \beta} + \frac{1}{\sin \beta})\).

   Ответ: \(b(1 + \frac{1}{\tg \beta} + \frac{1}{\sin \beta})\)

Ответ: Вариант А1. 1) 26 см; 2) 25 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\); 3) \(c(1 + \sin \alpha + \cos \alpha)\) Вариант А2. 1) 20 см; 2) 15 см, \(\sin = \frac{4}{5}\), \(\cos = \frac{3}{5}\); 3) \(b(1 + \frac{1}{\tg \beta} + \frac{1}{\sin \beta})\)