Как изменится определитель матрицы, если все элементы одной строки умножить на число k?

Решение:

Определитель матрицы обладает свойством линейности по каждой строке (или столбцу). Это означает, что если умножить все элементы одной строки матрицы на некоторое число \( k \), то и сам определитель умножится на это число \( k \).

Пример:

Пусть дана матрица A:

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Её определитель равен \( \det(A) = ad - bc \).

Теперь умножим первую строку на число \( k \):

\[ A' = \begin{pmatrix} ka & kb \\ c & d \end{pmatrix} \]

Определитель матрицы A' равен:

\[ \det(A') = (ka)d - (kb)c = k(ad - bc) = k \cdot \det(A) \]

Таким образом, определитель умножится на \( k \).

Ответ: Определитель умножится на k.