Как изменится среднее арифметическое 4 чисел, если каждое из них уменьшить на 6, а каждое из оставшихся на 7? Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть исходные 4 числа равны \(a_1, a_2, a_3, a_4\). Их среднее арифметическое равно \( \bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \).

В условии сказано «каждое из них уменьшить на 6, а каждое из оставшихся на 7». Это означает, что 2 числа из 4 уменьшаются на 6, а 2 числа из 4 уменьшаются на 7. В тексте задачи есть неточность, поэтому будем исходить из наиболее вероятной трактовки:

Вариант 1: Уменьшается каждое число, но по-разному.

Предположим, что числа \(a_1, a_2\) уменьшаются на 6, а числа \(a_3, a_4\) уменьшаются на 7.

Новые числа будут: \(a_1' = a_1 - 6\), \(a_2' = a_2 - 6\), \(a_3' = a_3 - 7\), \(a_4' = a_4 - 7\).

Новое среднее арифметическое:

\( \bar{a}' = \frac{(a_1 - 6) + (a_2 - 6) + (a_3 - 7) + (a_4 - 7)}{4} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - 6 - 6 - 7 - 7}{4} \)

\( \bar{a}' = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) - 26}{4} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} - \frac{26}{4} = \bar{a} - 6.5 \)

Вариант 2: Уменьшаются все 4 числа, но по-разному.

Если все 4 числа уменьшаются, но одно из них на 6, а 3 других на 7, или наоборот.

Если 1 число на 6, а 3 на 7:

\( \bar{a}' = \frac{(a_1 - 6) + (a_2 - 7) + (a_3 - 7) + (a_4 - 7)}{4} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - 6 - 7 - 7 - 7}{4} = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) - 27}{4} = \bar{a} - \frac{27}{4} = \bar{a} - 6.75 \)

Если 3 числа на 6, а 1 на 7:

\( \bar{a}' = \frac{(a_1 - 6) + (a_2 - 6) + (a_3 - 6) + (a_4 - 7)}{4} = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 - 6 - 6 - 6 - 7}{4} = \frac{(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) - 25}{4} = \bar{a} - \frac{25}{4} = \bar{a} - 6.25 \)

Наиболее вероятная трактовка текста: «Если каждое из 4 чисел уменьшить на 6, а каждое из 4 чисел уменьшить на 7» - это противоречие. Скорее всего, имелось в виду, что 2 числа уменьшаются на 6, а 2 числа уменьшаются на 7.

В таком случае, среднее арифметическое уменьшится на \( \frac{6+6+7+7}{4} = \frac{26}{4} = 6.5 \).

Если же имелось в виду, что 4 числа уменьшаются на 6, а затем еще на 7, то общее уменьшение будет 13, и среднее уменьшится на 13. Но это маловероятно.

Исходя из наиболее логичной трактовки (2 числа на 6, 2 числа на 7), среднее арифметическое уменьшится на 6.5.

Обоснование:

Пусть \(S\) - сумма четырех чисел. Среднее арифметическое \( \bar{a} = S/4 \).

Если два числа уменьшить на 6, а два числа на 7, то новая сумма \( S' = S - 2\cdot6 - 2\cdot7 = S - 12 - 14 = S - 26 \).

Новое среднее арифметическое \( \bar{a}' = S'/4 = (S - 26)/4 = S/4 - 26/4 = \bar{a} - 6.5 \).

Среднее арифметическое уменьшится на 6.5.

Ответ: Уменьшится на 6.5.