1. Как изменится внутренняя энергия 400 г гелия при увеличении температуры на 20 °C? 2. Определите КПД идеальной тепловой машины, имеющей температуру нагревателя 480 °С, а температуру холодильника 30 °C. 3. Воздух массой 200 г нагревают при постоянном давлении от 40 до 80 °С, в результате чего его объем увеличивается на 0,01 м³. Насколько при этом изменяется внутренняя энергия воздуха, если его давление равно 150 кПа? Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна 1000 Дж/(кг·°С), молярная масса воздуха — 29 г/моль. 4. В цилиндре объемом 0,7 м³ находится газ при температуре 280 К. Определите работу газа при расширении в результате нагревания на 16 К, если давление постоянно и равно 100 кПа. 5. Для нагревания 2,5 кг идеального газа на 8 °С при постоянном давлении потребовалось на 83,1 кДж большее количество теплоты, чем на нагревание того же газа на 8 °С при постоянном объеме. Определите молярную массу газа. 6. Воздух, занимающий при давлении 200 кПа объем 200 л, изобарно нагревают до температуры 500 К. Масса воздуха 580 г, молярная масса воздуха 29 г/моль. Определите работу воздуха.

Решение задачи №1

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала вспомним, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Изменение внутренней энергии \[ \Delta U \] можно рассчитать по формуле:

\[\Delta U = m \cdot c_v \cdot \Delta T,\]

где: \( m \) - масса гелия, \( c_v \) - удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме, \( \Delta T \) - изменение температуры.

Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме составляет \( c_v = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{\mu} \), где \[ R = 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \] - универсальная газовая постоянная, а \( \mu = 0.004 \,\text{кг/моль} \) - молярная масса гелия.

Подставим значения: \[c_v = \frac{3}{2} \cdot \frac{8.31}{0.004} = 3116.25 \,\text{Дж/(кг·К)}.\]

Теперь рассчитаем изменение внутренней энергии: \[\Delta U = 0.4 \,\text{кг} \cdot 3116.25 \,\text{Дж/(кг·К)} \cdot 20 \,\text{К} = 24930 \,\text{Дж}.\]

Ответ: Внутренняя энергия гелия увеличится на 24930 Дж.

Решение задачи №2

КПД (коэффициент полезного действия) идеальной тепловой машины (цикла Карно) определяется как:

\[\eta = 1 - \frac{T_{\text{холод}}}{T_{\text{нагрев}}},\]

где \[ T_{\text{холод}} \] и \[ T_{\text{нагрев}} \] - абсолютные температуры холодильника и нагревателя, соответственно. Температуры необходимо перевести в Кельвины:

\[T_{\text{холод}} = 30 + 273.15 = 303.15 \,\text{К},\]

\[T_{\text{нагрев}} = 480 + 273.15 = 753.15 \,\text{К}.\]

Теперь рассчитаем КПД: \[\eta = 1 - \frac{303.15}{753.15} = 1 - 0.4025 = 0.5975.\]

Выразим в процентах: \[\eta = 0.5975 \cdot 100\% = 59.75\%.\]

Ответ: КПД идеальной тепловой машины равен 59.75%.

Решение задачи №3

Изменение внутренней энергии воздуха при нагревании при постоянном давлении можно найти, используя первый закон термодинамики: \[\Delta U = Q - A,\]

где \[ Q \] - теплота, переданная газу, \[ A \] - работа, совершенная газом.

Теплота, переданная газу при постоянном давлении, рассчитывается как: \[Q = m \cdot c_p \cdot \Delta T,\]

где \[ m = 0.2 \,\text{кг} \] - масса воздуха, \[ c_p = 1000 \,\text{Дж/(кг·К)} \] - удельная теплоемкость при постоянном давлении, \[ \Delta T = 80 - 40 = 40 \,\text{К} \] - изменение температуры.

Рассчитаем теплоту: \[Q = 0.2 \,\text{кг} \cdot 1000 \,\text{Дж/(кг·К)} \cdot 40 \,\text{К} = 8000 \,\text{Дж}.\]

Работа, совершенная газом при постоянном давлении, равна: \[A = p \cdot \Delta V,\]

где \[ p = 150 \times 10^3 \,\text{Па} \] - давление, \[ \Delta V = 0.01 \,\text{м}^3 \] - изменение объема.

Рассчитаем работу: \[A = 150 \times 10^3 \,\text{Па} \cdot 0.01 \,\text{м}^3 = 1500 \,\text{Дж}.\]

Теперь найдем изменение внутренней энергии: \[\Delta U = 8000 \,\text{Дж} - 1500 \,\text{Дж} = 6500 \,\text{Дж}.\]

Ответ: Внутренняя энергия воздуха увеличится на 6500 Дж.

Решение задачи №4

Работа газа при расширении при постоянном давлении определяется как:

\[A = p \cdot \Delta V,\]

где \[ p \] - давление газа, \[ \Delta V \] - изменение объема.

Изменение объема можно найти, используя уравнение Клапейрона-Менделеева: \[pV = nRT,\]

где \[ n \] - количество вещества, \[ R = 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \] - универсальная газовая постоянная, \[ T \] - температура.

Тогда \[ \Delta V = \frac{nR \Delta T}{p} \]. Количество вещества можно найти из начальных условий: \[n = \frac{pV_1}{RT_1},\]

где \[ V_1 = 0.7 \,\text{м}^3 \] и \[ T_1 = 280 \,\text{К} \].

Подставим известные значения: \[n = \frac{100 \times 10^3 \,\text{Па} \cdot 0.7 \,\text{м}^3}{8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \cdot 280 \,\text{К}} = \frac{70000}{2326.8} \approx 30.08 \,\text{моль}.\]

Теперь найдем изменение объема: \[\Delta V = \frac{30.08 \,\text{моль} \cdot 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \cdot 16 \,\text{К}}{100 \times 10^3 \,\text{Па}} = \frac{3997.9}{100000} \approx 0.04 \,\text{м}^3.\]

Работа газа: \[A = 100 \times 10^3 \,\text{Па} \cdot 0.04 \,\text{м}^3 = 4000 \,\text{Дж}.\]

Ответ: Работа газа при расширении равна 4000 Дж.

Решение задачи №5

Для решения этой задачи используем следующие формулы:

Теплота при постоянном давлении: \[ Q_p = m \cdot c_p \cdot \Delta T \]

Теплота при постоянном объеме: \[ Q_v = m \cdot c_v \cdot \Delta T \]

Известно, что \[ Q_p = Q_v + 83100 \,\text{Дж} \]. Также известно, что для идеального газа: \[c_p - c_v = \frac{R}{\mu},\]

где \[ R = 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \] - универсальная газовая постоянная, \[ \mu \] - молярная масса газа.

Тогда: \[m \cdot c_p \cdot \Delta T = m \cdot c_v \cdot \Delta T + 83100,\] \[m \cdot (c_p - c_v) \cdot \Delta T = 83100,\] \[m \cdot \frac{R}{\mu} \cdot \Delta T = 83100,\] \[\mu = \frac{m \cdot R \cdot \Delta T}{83100}.\]

Подставим значения: \[\mu = \frac{2.5 \,\text{кг} \cdot 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \cdot 8 \,\text{К}}{83100 \,\text{Дж}} = \frac{166.2}{83100} \approx 0.002 \,\text{кг/моль} = 20 \,\text{г/моль}.\]

Ответ: Молярная масса газа равна 20 г/моль.

Решение задачи №6

Работа воздуха при изобарном нагревании определяется как:

\[A = p \cdot \Delta V,\]

где \[ p = 200 \times 10^3 \,\text{Па} \] - давление, \[ \Delta V \] - изменение объема.

Используем уравнение Клапейрона-Менделеева: \[pV = nRT,\]

где \[ n \] - количество вещества, \[ R = 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \] - универсальная газовая постоянная, \[ T \] - температура.

Тогда \[ \Delta V = \frac{nR \Delta T}{p} \], где \[ \Delta T = 500 - T_1 \]. Найдем начальную температуру \[ T_1 \] из уравнения Клапейрона-Менделеева: \[T_1 = \frac{pV_1}{nR},\]

где \[ V_1 = 0.2 \,\text{м}^3 \]. Количество вещества: \[n = \frac{m}{\mu} = \frac{0.58 \,\text{кг}}{0.029 \,\text{кг/моль}} = 20 \,\text{моль}.\]

Тогда: \[T_1 = \frac{200 \times 10^3 \,\text{Па} \cdot 0.2 \,\text{м}^3}{20 \,\text{моль} \cdot 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)}} = \frac{40000}{166.2} \approx 240.67 \,\text{К}.\]

Изменение температуры: \[\Delta T = 500 - 240.67 = 259.33 \,\text{К}.\]

Изменение объема: \[\Delta V = \frac{20 \,\text{моль} \cdot 8.31 \,\text{Дж/(моль·К)} \cdot 259.33 \,\text{К}}{200 \times 10^3 \,\text{Па}} = \frac{43099.26}{200000} \approx 0.2155 \,\text{м}^3.\]

Работа воздуха: \[A = 200 \times 10^3 \,\text{Па} \cdot 0.2155 \,\text{м}^3 = 43100 \,\text{Дж}.\]

Ответ: Работа воздуха при изобарном нагревании равна 43100 Дж.

Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и все получится!