Как надо изменить ребро куба, чтобы его объём: а) уменьшился в 8 раз; в 512 раз; б) увеличился в 1000 раз; в 216 раз?

а) Пусть исходное ребро куба равно $$a$$. Тогда его объем равен $$V = a^3$$. Чтобы объем уменьшился в 8 раз, новый объем должен быть равен $$\frac{V}{8} = \frac{a^3}{8}$$. Новый объем равен $$V_{new} = a_{new}^3$$. Следовательно, $$a_{new}^3 = \frac{a^3}{8}$$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $$a_{new} = \sqrt[3]{\frac{a^3}{8}} = \frac{a}{2}$$. Таким образом, ребро куба нужно уменьшить в 2 раза. Чтобы объем уменьшился в 512 раз, новый объем должен быть равен $$\frac{V}{512} = \frac{a^3}{512}$$. Тогда $$a_{new}^3 = \frac{a^3}{512}$$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $$a_{new} = \sqrt[3]{\frac{a^3}{512}} = \frac{a}{8}$$. Таким образом, ребро куба нужно уменьшить в 8 раз. б) Чтобы объем увеличился в 1000 раз, новый объем должен быть равен $$1000V = 1000a^3$$. Тогда $$a_{new}^3 = 1000a^3$$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $$a_{new} = \sqrt[3]{1000a^3} = 10a$$. Таким образом, ребро куба нужно увеличить в 10 раз. Чтобы объем увеличился в 216 раз, новый объем должен быть равен $$216V = 216a^3$$. Тогда $$a_{new}^3 = 216a^3$$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $$a_{new} = \sqrt[3]{216a^3} = 6a$$. Таким образом, ребро куба нужно увеличить в 6 раз. Ответ: а) уменьшить в 2 раза; уменьшить в 8 раз. б) увеличить в 10 раз; увеличить в 6 раз.