Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Формулой Герона называется формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон.

Пусть даны стороны треугольника a, b, c. Тогда полупериметр p вычисляется по формуле:

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Площадь S треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник со сторонами a, b, c и углом γ, лежащим против стороны c. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$

Используя теорему косинусов, имеем:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$

Выразим косинус угла γ:

$$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Теперь выразим синус угла γ, используя основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2$$ $$\sin^2(\gamma) = \frac{(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{(2ab)^2}$$

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$$\sin^2(\gamma) = \frac{(2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2)}{(2ab)^2}$$ $$\sin^2(\gamma) = \frac{((a + b)^2 - c^2)(c^2 - (a - b)^2)}{(2ab)^2}$$

И еще раз разложим на множители как разность квадратов:

$$\sin^2(\gamma) = \frac{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}{(2ab)^2}$$

Теперь вернемся к формуле площади:

$$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{1}{2}ab \sqrt{\frac{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}{(2ab)^2}}$$ $$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)}$$

Вспомним, что (p = \frac{a + b + c}{2}), тогда (2p = a + b + c).

Выразим оставшиеся суммы через p:

$$a + b - c = a + b + c - 2c = 2p - 2c = 2(p - c)$$ $$c + a - b = a + b + c - 2b = 2p - 2b = 2(p - b)$$ $$c - a + b = a + b + c - 2a = 2p - 2a = 2(p - a)$$

Подставим в формулу площади:

$$S = \frac{1}{4} \sqrt{2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c)}$$ $$S = \frac{1}{4} \sqrt{16p(p - a)(p - b)(p - c)}$$ $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p = \frac{a + b + c}{2}$$