Какая гласная пишется? они бор..тся (У/Ю; А/Я); ветки колыш..тся (У/Ю; А/Я).

В обоих случаях глаголы стоят в форме 3-го лица множественного числа и относятся к I спряжению: в окончании пишется ю.

Они борются; ветки колышются.