Какая из данных функций не является первообразной для функции f(x) = sin 2x ?

Решение:

Чтобы найти первообразную для функции \( f(x) = \sin 2x \), нужно проинтегрировать её:

\( \int \sin 2x dx \)

Сделаем замену: \( u = 2x \), тогда \( du = 2 dx \), следовательно \( dx = \frac{1}{2} du \).

Интеграл принимает вид:

\( \int \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos u + C \)

Подставляем обратно \( u = 2x \):

\( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x + C \)

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Теперь сравним полученную формулу с предложенными вариантами:

• \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x \) — является первообразной (при \( C=0 \)).
• \( F(x) = -2 \cos 2x \) — не является первообразной, так как коэффициент отличается.
• \( F(x) = 2 - \frac{1}{2} \cos 2x \) — является первообразной (при \( C=2 \)).
• \( F(x) = 4 - \frac{1}{2} \cos 2x \) — является первообразной (при \( C=4 \)).

Функция, которая не является первообразной, — это \( F(x) = -2 \cos 2x \).

Ответ: F(x) = -2 cos 2x