Какая из следующих функций удовлетворяет дифференциальному уравнению y" + 4y' = 0 ?

Решение:

Дано дифференциальное уравнение: $$y'' + 4y' = 0$$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид:

\[ r^2 + 4r = 0 \]

Разложим на множители:

\[ r(r+4) = 0 \]

Корни характеристического уравнения:

• $$r_1 = 0$$
• $$r_2 = -4$$

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]

Подставляем найденные корни:

\[ y(x) = C_1 e^{0  x} + C_2 e^{-4x} \]

\[ y(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} \]

Теперь проверим предложенные варианты функций:

1. $$y =  \cos 4x$$
• $$y' = -4  \sin 4x$$
• $$y'' = -16  \cos 4x$$
• Подставляем в уравнение: $$-16  \cos 4x + 4(-4  \sin 4x) = -16  \cos 4x - 16  \sin 4x
  eq 0$$
2. $$y =  \sin 4x$$
• $$y' = 4  \cos 4x$$
• $$y'' = -16  \sin 4x$$
• Подставляем в уравнение: $$-16  \sin 4x + 4(4  \cos 4x) = -16  \sin 4x + 16  \cos 4x
  eq 0$$
3. $$y = e^{4x}$$
• $$y' = 4e^{4x}$$
• $$y'' = 16e^{4x}$$
• Подставляем в уравнение: $$16e^{4x} + 4(4e^{4x}) = 16e^{4x} + 16e^{4x} = 32e^{4x}
  eq 0$$
4. $$y = e^{-4x}$$
• $$y' = -4e^{-4x}$$
• $$y'' = 16e^{-4x}$$
• Подставляем в уравнение: $$16e^{-4x} + 4(-4e^{-4x}) = 16e^{-4x} - 16e^{-4x} = 0$$

Таким образом, функция $$y = e^{-4x}$$ удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Примечание: Вариант $$y=e^{4x}$$ был в списке, но в решении было показано, что $$y=e^{-4x}$$ является решением. Если предположить, что в варианте ответа была опечатка и имелось в виду $$y=e^{-4x}$$, то именно она является верным ответом.

Финальный ответ:

Ответ: $$y=e^{-4x}$$