Какая же здесь замена?

Решение:

Рассмотрим уравнение: \( (x - 2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0 \)

Сгруппируем члены:

\( (x - 2)^4 - (x^2 - 4x + 16) = 0 \)

Заметим, что \( x^2 - 4x + 16 \) не является полным квадратом. Попробуем другую группировку:

\( ((x - 2)^2)^2 - (x^2 - 4x + 16) = 0 \)

Пусть \( y = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \).

Тогда \( x^2 - 4x = y - 4 \).

Подставим в исходное уравнение:

\( y^2 - (y - 4 + 16) = 0 \)

\( y^2 - (y + 12) = 0 \)

\( y^2 - y - 12 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3 \]

Теперь вернемся к подстановке \( y = (x-2)^2 \).

Случай 1: \( y = 4 \)

\[ (x - 2)^2 = 4 \]

\[ x - 2 = \pm 2 \]

\( x_1 - 2 = 2 \implies x_1 = 4 \)

\( x_2 - 2 = -2 \implies x_2 = 0 \)

Случай 2: \( y = -3 \)

\[ (x - 2)^2 = -3 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, замена, которая позволяет решить уравнение, это \( y = (x-2)^2 \).