Давай разберем предложенные варианты, чтобы выбрать верные:
1. Х.К. Андерсен жил в XX веке. - Это неверно. Ханс Кристиан Андерсен жил в XIX веке (1805-1875).
2. Писатель родился в семье башмачника. - Это верно. Его отец был башмачником.
3. Он побывал во всех странах Европы. - Это неверно. Хотя Андерсен много путешествовал, он не посетил все страны Европы.
4. Мать Ханса умерла, когда мальчик был совсем маленьким. - Это неверно. Его мать умерла, когда он был уже взрослым.
Таким образом, верный ответ: Писатель родился в семье башмачника.