Какие из пар (1; 2), (-1; 3), (7; -1) являются решением системы уравнений { x + 2y = 5, 3x - y = -6? Решите графически систему линейных уравнений { 2x - y = 0, x + y = 3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: а) { 4x + y = 6, 8x + 2y = 12; б) { 4x + y = 6, 12x - 3y = 18; в) { 4x + y = 6, 2x + 1/2y = 6

Решение первого задания:

Проверим каждую пару:

• Пара (1; 2):
  • В первое уравнение: 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5. Верно.
  • Во второе уравнение: 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1. Неверно, должно быть -6.
• Пара (-1; 3):
  • В первое уравнение: -1 + 2(3) = -1 + 6 = 5. Верно.
  • Во второе уравнение: 3(-1) - 3 = -3 - 3 = -6. Верно.
• Пара (7; -1):
  • В первое уравнение: 7 + 2(-1) = 7 - 2 = 5. Верно.
  • Во второе уравнение: 3(7) - (-1) = 21 + 1 = 22. Неверно, должно быть -6.

Ответ: Пара (-1; 3) является решением системы уравнений.

Решение второго задания (графически):

Система уравнений:

График: На графике изображены две прямые. Первая прямая проходит через начало координат (0;0) и точку (1;2). Вторая прямая проходит через точки (0;3) и (3;0).

Точка пересечения: Графики пересекаются в точке (1; 2).

Проверка:

• 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0. Верно.
• 1 + 2 = 3. Верно.

Ответ: Решением системы является точка (1; 2).

Решение третьего задания:

а) Система:

• \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 2:
  \[ 2(4x + y) = 2(6) \]
  \[ 8x + 2y = 12 \]
• Второе уравнение совпадает с удвоенным первым. Это означает, что системы имеет бесконечное множество решений.

б) Система:

• \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 3:
  \[ 3(4x + y) = 3(6) \]
  \[ 12x + 3y = 18 \]
• Второе уравнение:
  \[ 12x - 3y = 18 \]
• Сложим два уравнения:
  \[ (12x + 3y) + (12x - 3y) = 18 + 18 \]
  \[ 24x = 36 \]
  \[ x = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} \]
• Подставим x в первое уравнение:
  \[ 4(\frac{3}{2}) + y = 6 \]
  \[ 6 + y = 6 \]
  \[ y = 0 \]
• Система имеет одно решение.

в) Система:

• \[ \begin{cases} 4x + y = 6 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 6 \end{cases} \]
• Умножим второе уравнение на 2:
  \[ 2(2x + \frac{1}{2}y) = 2(6) \]
  \[ 4x + y = 12 \]
• Первое уравнение:
  \[ 4x + y = 6 \]
• Получили два уравнения с одинаковыми левыми частями, но разными правыми. Это означает, что система не имеет решений.

Ответ:

• а) Бесконечное множество решений.
• б) Одно решение.
• в) Нет решений.