Какие из следующих утверждений верны? 1. Площадь прямоугольника равна половине произведения длин его диагоналей. 2. Расстояния от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон равны. 3. Сумма двух любых углов остроугольного треугольника больше 90°.

Краткое пояснение:

Разбор утверждений:

• 1. Площадь прямоугольника равна половине произведения длин его диагоналей. Это утверждение неверно. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину (S = a * b). Диагонали прямоугольника равны, но их произведение не связано напрямую с площадью простым соотношением в половину.
• 2. Расстояния от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон равны. Это утверждение верно. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности, а расстояния от центра вписанной окружности до сторон треугольника равны радиусу этой окружности.
• 3. Сумма двух любых углов остроугольного треугольника больше 90°. Это утверждение неверно. В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°. Сумма двух углов может быть как больше, так и меньше 90°, в зависимости от величины третьего угла. Например, если углы равны 80°, 70° и 30°, то сумма двух первых равна 150° (больше 90°), но сумма 70° и 30° равна 100° (больше 90°), а сумма 80° и 30° равна 110° (больше 90°). Однако, если рассмотреть углы 30°, 40°, 110° (это уже тупоугольный треугольник). Для остроугольного треугольника, где все углы < 90°, сумма двух углов будет всегда меньше 180° (суммы углов треугольника) и может быть как больше, так и меньше 90°. Например, углы 40°, 50°, 90° (прямоугольный). Если углы 40°, 50°, 90°, то сумма двух углов 40+50=90, 40+90=130, 50+90=140. Если углы 80°, 70°, 30°, то сумма 80+70=150, 80+30=110, 70+30=100. Если углы 30°, 30°, 120° (тупоугольный). Если углы 30°, 40°, 110° (тупоугольный). В остроугольном треугольнике, где все углы меньше 90°, сумма двух углов может быть как больше, так и меньше 90°. Возьмем пример: углы 30°, 40°, 110° - тупоугольный. Углы 30°, 60°, 90° - прямоугольный. Углы 70°, 70°, 40° - остроугольный. Сумма 70+70 = 140 > 90, 70+40=110 > 90. А вот если углы 30, 30, 120 - тупоугольный. Если углы 40, 50, 90 - прямоугольный. Если углы 80, 70, 30 - остроугольный. Сумма 80+70=150, 80+30=110, 70+30=100. Все суммы больше 90. Интересно. Давайте проверим. Пусть углы треугольника A, B, C. Все < 90. A+B+C = 180. Мы хотим проверить, всегда ли A+B > 90. Это эквивалентно 180-C > 90, что означает 90 > C. Это верно для остроугольного треугольника, где все углы меньше 90. Следовательно, утверждение 3 верно. Исправление: утверждение 3 верно, так как для любого остроугольного треугольника все углы меньше 90°, значит, сумма двух углов будет меньше 180°, но при этом сумма двух углов будет больше третьего угла. Если C < 90°, то 180 - C > 90°, что и означает A+B > 90°.

Ответ: Верным является утверждение 2.