Какие из следующих утверждений верны? 1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. 2) Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий угол равен 60°. 3) В прямоугольном треугольнике два угла всегда острые.

Разберем каждое утверждение: 1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. * Это утверждение верно. Гипотенуза – это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике. Это следует из теоремы Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) – гипотенуза, \(a\) и \(b\) – катеты. Отсюда \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), и очевидно, что \(c\) больше как \(a\), так и \(b\). 2) Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий угол равен 60°. * Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один из катетов, например, \(a\), равен половине гипотенузы \(c\): \(a = \frac{1}{2}c\). Тогда синус угла, противолежащего этому катету, равен отношению катета к гипотенузе: \(\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{1}{2}\). Угол, синус которого равен \(\frac{1}{2}\), равен 30°, а не 60°. Таким образом, это утверждение неверно. 3) В прямоугольном треугольнике два угла всегда острые. * Это утверждение верно. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно, сумма двух других углов равна \(180° - 90° = 90°\). Чтобы в сумме получить 90°, каждый из этих углов должен быть меньше 90°, то есть быть острым. Ответ: 1 и 3