Какие уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися переменными?

Решение:

Уравнение вида \( y' = f(\frac{y}{x}) \) является однородным уравнением. Если такое уравнение можно привести к виду \( y' = g(x)h(y) \), то оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим предложенные варианты:

• \( y' = \frac{y}{x} + \cos(\frac{y}{x}) \) — это однородное уравнение. Можно сделать замену \( z = \frac{y}{x} \), тогда \( y' = xz' + z \). Уравнение примет вид \( xz' + z = z + \cos(z) \), то есть \( xz' = \cos(z) \). Это уравнение с разделяющимися переменными.
• \( y' = \frac{x+y+1}{4x+4y} = \frac{x+y+1}{4(x+y)} \) — данное уравнение не является ни однородным, ни с разделяющимися переменными в исходном виде.
• \( y' = \frac{x+4y+4}{4x+4y} \) — данное уравнение также не является ни однородным, ни с разделяющимися переменными в исходном виде.
• \( y' = \cos(x+y) \) — это уравнение вида \( y' = f(ax+by+c) \). Замена \( z = x+y \) приводит к \( z' - 1 = \cos(z) \), то есть \( z' = 1 + \cos(z) \). Это уравнение с разделяющимися переменными.

Таким образом, к уравнению с разделяющимися переменными сводятся первое и последнее уравнения.

Ответ: y' = \(\frac{y}{x}\) + cos(\(\frac{y}{x}\)) и y' = cos(x+y).