Какие уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися переменными? Замечание: При выборе неправильного ответа - общая сумма баллов уменьшается. Будьте внимательны.

Решение:

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид \( y' = f(x)g(y) \). Рассмотрим предложенные варианты:

1. \( y' = \frac{x+4y+4}{4x+4y} \) — это однородное уравнение, так как \( \frac{x+4y+4}{4x+4y} = \frac{\frac{x}{y}+4+\frac{4}{y}}{4+4\frac{x}{y}} \), что зависит от \( \frac{x}{y} \).
2. \( y' = \cos(x + y) \) — это уравнение вида \( y' = f(ax+by) \).
3. \( y' = \frac{x+y+1}{4x+4y} \) — это общее дифференциальное уравнение, не являющееся ни однородным, ни с разделяющимися переменными.
4. \( y' = \frac{y}{x} + \cos\frac{y}{x} \) — это однородное уравнение, так как \( \frac{y}{x} + \cos\frac{y}{x} \) является функцией от \( \frac{y}{x} \).

Таким образом, уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными, это однородные уравнения. В данном случае к ним относятся:

• \( y' = \frac{x+4y+4}{4x+4y} \)
• \( y' = \frac{y}{x} + \cos\frac{y}{x} \)

Ответ: ☐ y' = \(\frac{x+4y+4}{4x+4y}\)
☐ y' = \(\frac{y}{x}\) + \(\frac{y}{x}\)