На основании анализа текста, правильным высказыванием является: «Путивляне верили, что царь Дмитрий жив, и поэтому согласились помогать Болотникову». Это подтверждается тем, что в тексте говорится о вере Путивля, что Дмитрий жив, и о предоставлении помощи Болотникову.