Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве 5x + 2 = 2x + *, чтобы получилось уравнение: 1. не имеющее корней; 2. имеющее бесконечно много корней; 3. имеющее один корень?

Решение:

Дано уравнение: \( 5x + 2 = 2x + * \).

Для того чтобы определить, каким выражением можно заменить звёздочку, чтобы получилось уравнение:

1. не имеющее корней:
• Перенесём все члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \( 5x - 2x = * - 2 \)
• Упростим: \( 3x = * - 2 \)
• Чтобы уравнение не имело корней, левая часть не должна быть равна правой для любого \( x \). Это возможно, если коэффициент при \( x \) равен нулю, а свободный член не равен нулю. В нашем случае коэффициент при \( x \) равен 3, что не равно нулю. Таким образом, уравнение вида \( 3x = C \) всегда имеет один корень \( x = C/3 \).
• Следовательно, для получения уравнения, не имеющего корней, звёздочку нужно заменить так, чтобы после приведения подобных слагаемых получилось уравнение вида \( 0x = C \), где \( C \neq 0 \).
• Это невозможно, так как \( 3x \) не может быть равно \( 0x \).
2. имеющее бесконечно много корней:
• Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно сводиться к виду \( 0x = 0 \).
• В нашем случае имеем \( 3x = * - 2 \). Чтобы получилось \( 0x = 0 \), нам нужно, чтобы \( 3x \) стало \( 0x \), что невозможно.
• Если бы уравнение было \( 5x + 2 = 5x + 2 \), то \( 0x = 0 \), что означает бесконечное множество решений.
• Чтобы получить \( 0x \) из \( 3x \), нужно, чтобы \( 3=0 \), что неверно.
• Следовательно, заменой звёздочки нельзя получить уравнение с бесконечным числом корней.
3. имеющее один корень:
• Уравнение вида \( ax = b \) имеет один корень, если \( a \neq 0 \).
• В нашем случае мы получили \( 3x = * - 2 \). Поскольку коэффициент при \( x \) равен 3 (что не равно нулю), это уравнение всегда будет иметь один корень, независимо от того, каким выражением мы заменим звёздочку, так как \( * - 2 \) всегда будет некоторым числом \( C \), и мы получим \( 3x = C \), откуда \( x = C/3 \).

Ответ: 3. имеющее один корень?