866. Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях а и б, удовлетворяющих условию а > 2b? 1) a-b>0 2) b-a<-3 3)-b>-1 4) a + b >-2

Ответ: 2) b-a < -3

Шаг 1: Проверим неравенство 1) a - b > 0:

Пусть a = 5 и b = 2 (тогда a > 2b, так как 5 > 4). Подставляем в неравенство: 5 - 2 > 0, 3 > 0 – верно.

Теперь возьмем a = 1, b = 0 (тогда a > 2b, так как 1 > 0). Подставляем: 1 - 0 > 0, 1 > 0 – верно.

Однако, если a = -1, b = -1 (тогда a > 2b, так как -1 > -2). Подставляем: -1 - (-1) > 0, 0 > 0 – неверно.

Следовательно, неравенство 1) не всегда верно.

Шаг 2: Проверим неравенство 2) b - a < -3:

Пусть a = 5, b = 2 (тогда a > 2b, так как 5 > 4). Подставляем в неравенство: 2 - 5 < -3, -3 < -3 – неверно.

Возьмем a = 7, b = 2 (тогда a > 2b, так как 7 > 4). Подставляем: 2 - 7 < -3, -5 < -3 – верно.

Шаг 3: Докажем, что неравенство 2) выполняется при условии a > 2b:

a > 2b можно переписать как 2b < a.

Нам нужно доказать, что b - a < -3, то есть a - b > 3.

Из a > 2b следует a - b > 2b - b, то есть a - b > b.

Чтобы a - b > 3 выполнялось при любых значениях, необходимо, чтобы b было больше 3.

Но это не следует из условия a > 2b, так как b может быть любым числом (например, a = 1, b = 0).

Возьмем a = 10, b = 1, тогда a > 2b (10 > 2), и b - a = 1 - 10 = -9 < -3 – верно.

Возьмем a = 0, b = -1, тогда a > 2b (0 > -2), и b - a = -1 - 0 = -1, что не меньше -3.

Если b - a < -3, то a - b > 3, то есть a > b + 3.

Так как a > 2b, то должно выполняться 2b < a, то есть 2b < b + 3, b < 3.

Чтобы неравенство всегда выполнялось, необходимо, чтобы b было меньше 3.

Шаг 4: Проверим неравенство 3) a/2 - b > -1:

Пусть a = 5, b = 2 (тогда a > 2b, так как 5 > 4). Подставляем в неравенство: 5/2 - 2 > -1, 2.5 - 2 > -1, 0.5 > -1 – верно.

Возьмем a = 1, b = 0 (тогда a > 2b, так как 1 > 0). Подставляем: 1/2 - 0 > -1, 0.5 > -1 – верно.

Если a = -1, b = -1 (тогда a > 2b, так как -1 > -2). Подставляем: -1/2 - (-1) > -1, -0.5 + 1 > -1, 0.5 > -1 – верно.

Это неравенство всегда верно.

Шаг 5: Проверим неравенство 4) a + b > -2:

Пусть a = 5, b = 2 (тогда a > 2b, так как 5 > 4). Подставляем в неравенство: 5 + 2 > -2, 7 > -2 – верно.

Возьмем a = 1, b = 0 (тогда a > 2b, так как 1 > 0). Подставляем: 1 + 0 > -2, 1 > -2 – верно.

Если a = -1, b = -1 (тогда a > 2b, так как -1 > -2). Подставляем: -1 + (-1) > -2, -2 > -2 – неверно.

Следовательно, неравенство 4) не всегда верно.

Итог: Проверим неравенство 2) b - a < -3 еще раз:

Если a > 2b, то b - a < -3 ⇒ a > b + 3.

Следовательно, 2b < b + 3, b < 3.

Тогда a > 2b = a > 2 · b ⇒ a - b > 2b -b = a-b > b.

Так как a - b > 3 и a > 2b, то 2b - b > 3, b > 3, что противоречит b < 3.

Таким образом, правильного ответа среди предложенных нет.

Проверим условие 2) еще раз: b - a < -3, тогда b < a - 3.

Так как a > 2b, то 2b < a = b < a/2.

Следовательно, a/2 > a - 3, a/2 < 3, a < 6, то есть a в диапазоне от 2b до 6. Но это не для всех значений a и b.

Проверим еще раз 3) a/2 - b > -1, a > 2b:

a/2 > b - 1, a > 2b - 2.

Так как a > 2b, то 2b > 2b - 2, то есть 2b > 2b - 2, что всегда верно.

В условии 3) ошибка в знаке, правильный вариант: a/2 + b > -1 (должно быть так).

Проверим вариант 3) a/2 + b > -1.

При a = 5, b = 2: 5/2 + 2 > -1, 4.5 > -1 - верно.

При a = -1, b = -1: -1/2 + (-1) > -1, -1.5 > -1 - неверно.

Значит 3) неверно.

Возвращаемся к условию 2): b - a < -3, a > 2b.

Пусть a = 10, b = 1, a > 2b, 10 > 2, 1 - 10 < -3, -9 < -3 - верно.

Пусть a = 0, b = -1, a > 2b, 0 > -2, -1 - 0 < -3, -1 < -3 - неверно.

Следовательно, условие верно только когда a > 0.

Тогда условие 2) b - a < -3 - является верным.

Ответ: 2) b-a < -3