Какое из рекуррентных соотношений указанных ниже является линейным?

Линейным рекуррентным соотношением называется такое соотношение, в котором каждый член последовательности выражается через предыдущие члены линейно, то есть в виде суммы предыдущих членов, умноженных на некоторые коэффициенты, которые могут быть константами или функциями от *n*, но не зависят от самих членов последовательности. Важно, чтобы не было произведений членов последовательности или функций от них.

Рассмотрим предложенные варианты:

1. $$a_n = 3a_{n-1}^3 + 4a_{n-2}$$
В этом соотношении член $$a_{n-1}$$ возводится в куб, что делает его нелинейным.

2. $$a_n = 3n^3 a_{n-1} + n a_{n-2}$$
В этом соотношении каждый член последовательности $$a_n$$ выражается через предыдущие члены $$a_{n-1}$$ и $$a_{n-2}$$ линейно, с коэффициентами, зависящими только от *n*. Следовательно, это линейное рекуррентное соотношение.

3. $$a_{n+2} = a_n a_{n+1} - 3a_{n+1} + 1$$
В этом соотношении есть произведение членов последовательности $$a_n a_{n+1}$$, что делает его нелинейным.

4. $$a_{n+3} = 6a_n a_{n+2} + a_{n+1}$$
В этом соотношении также есть произведение членов последовательности $$a_n a_{n+2}$$, что делает его нелинейным.

Таким образом, только второй вариант является линейным рекуррентным соотношением.

Ответ: $$a_n = 3n^3 a_{n-1} + n a_{n-2}$$